Original Maxwell bis heute

Die Maxwell-Gleichungen – vom Original zur modernen Schreibweise

Gerhard W. Bruhn, Technische Universität Darmstadt

James Clerk Maxwell hat seine berühmte Theorie des Elektromagnetismus [1] erstmalig 1865 veröffentlicht, s. hierzu die Übersicht in Abschnitt 1. Dabei handelte es sich um 4 × 3 Differentialgleichungen (A), (B), (C), (D), zu denen 2 × 3 Materialgleichungen (E) und (F) sowie 2 skalare Differentialgleichungen (G) und (H) hinzukamen. Die Differentialgleichungen, die mit den heutzutage verwendeten „Maxwell-Gleichungen“ im wesentlichen übereinstimmen, weisen für heutige Leser die Besonderheit auf, dass partielle Ableitungen mit geraden d’s geschrieben werden, also z.B. für die partielle Ableitung nach der Zeit d/dt statt der heute üblichen Schreibweise ∂/∂t. Überdies werden Vektorkomponenten nicht nummeriert, sondern unter Ausnutzung (fast) aller verfügbaren Buchstaben bezeichnet, was der Übersichtlichkeit zunächst recht abträglich ist. Aber nach kurzer Zeit gewöhnt man sich an diese Besonderheiten.

Im Jahr 1873 erschien Maxwells Theorie in zweibändiger Buchausgabe als „A Treatise on Electricity and Magnetism“ [2], der dann noch zwei Auflagen in den Jahren 1881 und 1891 folgten. Schließlich gab es noch einen unveränderten Nachdruck der letzten Auflage im Jahr 1954. Während Maxwell in seiner Publikation von 1865 von den von W. R. Hamilton 1853 erfundenen Quaternionen keinen Gebrauch macht, setzt er diese nun in seiner "Treatise" von 1873 bewusst zur Vereinfachung der Schreibweise ein und antizipiert damit weitgehend die heute übliche Vektor-Notation. Wie in der Original-Arbeit von 1865 werden die anfallenden Rechnungen dagegen durchweg in der herkömmlichen Komponenten-Schreibweise erledigt.

Von O. Heaviside und W. Gibbs wurde dann ab 1892 die Umschreibung der Maxwellschen Theorie auf die heute übliche Vektorschreibweise vorgenommen. Von spekulativ veranlagten Laien wird gelegentlich der Verdacht geäußert, die Umschreibung von Heaviside und Gibbs sei zu Lasten des Inhalts der ursprünglichen Maxwell-Gleichungen gegangen, vielleicht verständlich wegen der wirklich frappierenden Vereinfachungen, die durch die Benutzung der Vektorschreibweise erreicht wurden und von denen sich der Leser durch einen Blick auf die Übersichten der Abschnitte 1 und 3 ein Bild machen kann – die Vereinfachung besteht darin, dass aus den 4 × 3 = 12 Differentialgleichungen (A), (B), (C), (D) und den 2 × 3 = 6 Materialgleichungen (E) und (F) jetzt 4+2 = 6 vektorische Gleichungen geworden sind, während die skalaren Gleichungen (G) und (H) unberücksichtigt bleiben können, da sie von den übrigen abhängig sind. Formal wurden also die 20 ursprünglichen Gleichungen auf 6 Gleichungen „zusammengestrichen“. Auch gewinnen die Gleichungen natürlich durch die Ersetzung der heterogenen Bezeichnungsweise Maxwells in [1] durch Vektorbezeichnungen entscheidend an Übersichtlichkeit. Aber in dieser Hinsicht hatte Maxwell bereits mit Einführung der Quaternionenschreibweise in [2] den ersten entscheidenden Schritt getan. Inhaltlich aber hat sich durch die Vereinfachung der Schreibweise keine Veränderung ergeben. Man kann aus der heutigen Kurzschreibweise unschwer wieder Maxwells Originalform seiner Gleichungen herstellen.

Auf die (rechentechnischen) Vorteile der Vektorschreibweise gegenüber der Hamiltonschen Quaternionenschreibweise werden wir unten noch eingehen. Es wird sich zeigen, dass diese Unterschiede gravierend sind.

Gleichungen sind Bedingungen für die möglichen Lösungen. Lässt man durch „Vereinfachungen“ Bedingungen weg, so gibt es dadurch i.a. mehr Lösungen, niemals weniger! Lösungen ausschließen, z.B. die märchenhaften Skalarwellen von K. Meyl oder T. Bearden, kann man nur durch Hinzufügen von Bedingungen. Das aber ist nicht geschehen, wie der Leser an Hand der folgenden Abschnitte selbst noch mal überprüfen kann.

Insbesondere werden derlei Spekulationen gern mit Fehlen der von Maxwell zeitweilig benutzten elektrischen und magnetischen Potentiale in der modernen Theorie begründet. Doch die Herleitbarkeit von elektrischer oder magnetischer Feldstärke aus Potentialen ist eine Zusatzforderung, deren Fortfall die Menge der Lösungen allenfalls vergrößern kann (Näheres dazu am Ende von Abschnitt 3). Deswegen sind spekulative Behauptungen, die Original-Maxwell-Gleichungen hätten diese Meyl- oder Bearden-Wellen noch zugelassen, völlig abwegig.

1. Die Gleichungen von 1865

Gl.

Maxwells Original-Gleichungen in [1]

Transkription

Vektor-Schreibweise

(A)

p' = p + ^df/_dt

q' = q + ^dg/_dt

r' = r + ^dh/_dt

(f,g,h) = D

(p,q,r) = j₀

(p',q',r') = j

j = j₀ + ^∂D/_∂t

(B)

μα = ^dH/_dy – ^dG/_dz

μβ = ^dF/_dz – ^dH/_dx

μγ = ^dG/_dx – ^dF/_dy

(F,G,H) = A

(α,β,γ) = H

μH = nabla × A = rot A

(C)

^dγ/_dy – ^dβ/_dz = ?4π?p'

^dα/_dz – ^dγ/_dx = ?4π?q'

^dβ/_dx – ^dα/_dy = ?4π?r'

(F,G,H) = A

(p',q',r') = j

nabla × H = rot H = j

(D)

P = μ(γ^dy/_dt – β^dz/_dt) – ^dF/_dt – ^dΨ/_dx

Q = μ(α^dz/_dt – γ^dx/_dt) – ^dG/_dt – ^dΨ/_dy

R = μ(β^dx/_dt – α^dy/_dt) – ^dH/_dt – ^dΨ/_dz

(P,Q,R) = E

(α,β,γ) = H

(F,G,H) = A

Ψ = φ

E =μv×H – ∂A/∂t –grad φ
(nabla φ = grad φ)

(E)

P = kf

Q = kg

R = kh

k = ε^–1

(P,Q,R) = E

(f,g,h) = D

E = ε^–1 D

(F)

P = – ρp

Q = – ρq

R = – ρr

– ρ = σ^–1

(P,Q,R) = E

(p,q,r) = j₀

E = σ^–1 j₀

(G)

?–? e + ^df/_dx + ^dg/_dy + ^dh/_dz = 0

e =ρ

–ρ + nabla ·D = –ρ+div D = 0

(H)

^de/_dt+ ^dp/_dx + ^dq/_dy + ^dr/_dz = 0

(p,q,r) = j₀

^∂ρ/_∂t + div j₀ = 0

Diese Gleichungen enthalten zwei triviale Fehler: Für die Größe e in den Gleichungen (G) und (H) besteht eine Diskrepanz im Vorzeichen von e, ein offensichtlicher Druckfehler, den man in Hinblick auf Gleichung (J) in Abschnitt 3 durch ein Minuszeichen vor e in (G) behebt (oben bereits als ?–? eingefügt). Man beachte hierzu auch die Bemerkung zu (G) auf der nächsten Seite. Weiter ist in (C) der durch ?4π? markierte Faktor 4π wegzulassen, da offenbar auf Dimensionswechsel beruhend.

Aus diesen (leicht korrigierten) Originalgleichungen von 1865 lassen sich die heute üblichen Maxwell-Gleichungen leicht folgern:

Aus (E) folgt unmittelbar die Materialgleichung

(1.1) D = εE.

Für die magnetische Induktion B liegt keine Bindung vor, so dass man einfach die Gleichung

(1.2) B = μH

als Definition hinzufügen darf. In (F) hat man das Ohmsche Gesetz

(1.3) j₀ = σE,

so dass alle Materialgleichungen vorhanden sind.

Die Quellgleichung für D hat Maxwell als (G) direkt hingeschrieben, die für B = μH

(1.4) div B = 0

folgt aus (B) durch Divergenzbildung wegen div rot A = 0.

Durch Einsetzen von (C) in (A) ergibt sich

(1.5) rot H = j₀+ ^∂D/∂t

Die Bildung der Rotation von (D) liefert für v = 0 wegen (B) und der Materialgleichung (1.2) unter Beachtung von rot grad φ = 0

(1.6) rot E = – ^∂B/∂t.

Die hier nicht benutzte Originalgleichung (G) ist definitorisch: Die elektrische Ladungsdichte wird definiert, die in den bereits berücksichtigten Gleichungen nicht vorkommt. Sie stellt also keine Bedingungsgleichung dar. Die Kontinuitätsgleichung (H) ist dann eine Konsequenz von (G), (A) und (B), also bei Gültigkeit dieser Gleichungen keine neue Forderung. (G) und (H) brauchen also nicht übertragen zu werden.

Insgesamt bedeutet das Ergebnis, dass Maxwells (leicht korrigierte) Originalgleichungen von 1865 für v = 0 keine Lösungen haben können, die nicht auch die modernen Maxwell-Gleichungen lösen.

Es sind bei der Modernisierung keine Lösungen verloren gegangen.

Der Fall v ≠ 0 verdient eine besondere Bemerkung: Maxwell wollte damit die Elektrodynamik (mit der Geschwindigkeit v) bewegter Medien behandeln, insbesondere den Unipolarinduktor. Er hat sich jedoch sonst, z.B. für seine elektromagnetische Lichttheorie, immer auf den Fall v = 0 beschränkt.

Die allgemeine Aufgabe v ≠ 0 wurde dann erst durch A. Einstein in seiner berühmten Arbeit [3] „Zur Elektrodynamik bewegter Körper“ im Jahr 1905 erfolgreich bearbeitet, s. dazu auch den Beitrag [4].

2. Quaternionen

Achtung! In den Abschnitten 2 und 3 werden Quaternionen z.Z. typographisch der Maxwellschen Vorlage entsprechend nur dann richtig dargestellt (Fraktur-Buchstaben), wenn der Zeichensatz "Old English Text MT" auf Ihrem Rechner verfügbar ist. Um Verwechslungen zu vermeiden, habe ich die für Quaternionen verwendeten (Fraktur-)Buchstaben zusätzlich blau gefärbt.

Die Quaternionen wurden etwa 1853 von W. R. Hamilton als Verallgemeinerung der überaus nützlichen komplexen Zahlen erfunden. Leitgedanke war dabei, das arithmetische Rechnen, das die komplexen Zahlen für den R² ermöglichten, auf den R³ auszudehnen. Das gelang W. R. Hamilton schließlich unter Verzicht auf das kommutative Gesetz der Multiplikation.

Ein(e) Quaternion(e) A = (α,a) (Geschlecht unbestimmt!) besteht aus einem skalaren Anteil (α,0) = S.A mit α aus R und einem vektorischen Anteil (0,a) = V.A mit a aus R³. Die Addition von Quaternionen A = (α,a) und B = (β,b) erfolgt komponentenweise (wie in der Vektorrechnung):

(2.1) A + B : = (α,a) + (β,b) : = (α+β,a+b).

Die Definition der Multiplikation ist etwas komplizierter:

(2.2) AB : = (α,a) (β,b) : = (αβ– a·b, a×b + αb + βa)

mit den aus der Vektorrechnung bekannten Multiplikationsoperationen · (Skalarprodukt) und × (Vektorprodukt).

Die „Null“ ist die Quaternione O = (0,0), die „Eins“ die Quaternione E = (1,0).

Die für die physikalischen Anwendungen wichtigen Quaternionen sind neben den skalaren Quaternionen (α,0) die vektorischen Quaternionen (0,a).

Das Produkt (α,0)(0,a) liefert (0,αa), also gerade die Multiplikation des „Vektors“ (0,a) mit der Zahl α. Interessanter für physikalische Anwendungen ist das Produkt zweier vektorischer Quaternionen (0,a) und (0,b). Man erhält

(2.3) (0,a)(0,b) = (– a·b, a×b), d.h. S.(0,a)(0,b) = (– a·b, 0) und V.(0,a)(0,b) = (0, a×b),

also (bis auf das Vorzeichen im Skalarteil) gerade als Ergebnis die Kombination von Skalar- und Vektorprodukt zusammen.

Zugleich wird aber auch sichtbar, wo die Komplikationen der Quaternionenrechnung liegen:

Der Skalarteil von (0,a)(0,b) verhält sich kommutativ, der Vektorteil dagegen anti-kommutativ, und diese Tatsachen behindern die Entwicklung von weiteren Rechenregeln für Quaternionen erheblich.

Die Auftrennung

(2.4) a·b : = – S.(0,a)(0,b) und a×b : = V.(0,a)(0,b),

die von Heaviside und Gibbs effektiv vorgenommen wurde, ließ dagegen das Entstehen einer Vielzahl weiterer Rechenregeln erwarten, die heutzutage für die Anwendungen den Inhalt der „Vektorrechnung“ ausmachen.

Im folgenden Abschnitt werden die Quaternionen-Schreibweisen aus Maxwells „Treatise“ wiedergegeben. Da fällt sofort auf, dass Quaternionen für Maxwell offenbar nur ein Formulierungshilfsmittel waren, um seine Gleichungen übersichtlicher und kompakter zu schreiben. Es gibt keinerlei wirkliche Quaternionen-Rechnung. Maxwell hat sogar an einigen Stellen, wo dies der Vereinfachung dienlich gewesen wäre, auf die Quaternionen-Schreibweise verzichtet. Diese Stellen sind in der Übersicht des nächsten Abschnitts durch ? ... markiert.

Man sieht dort im übrigen sehr deutlich, dass die Umschreibung (2.4) nichts anderes war als eine Fortführung dessen, was bereits von Maxwell vorbereitet worden war. Der durch Heaviside und Gibbs gewonnene Vorteil bestand in der Erschließung eines Kalküls von Vektorregeln, wie sie die Quaternionenrechnung auch nicht annähernd bereitstellen konnte.

Auf eine Merkwürdigkeit im Zusammenhang mit dem von W. R. Hamilton eingeführten Nabla-Operators sei hier noch hingewiesen. In der Arbeit von 1865 verstand Maxwell unter nabla² noch, wie auch heute üblich, den Δ-Operator:

nabla²= Δ = ^∂²/_∂x² + ^∂²/_∂y² + ^∂²/_∂z²

was man z.B. bei der Formulierung der Wellengleichung in dem Abschnitt „Electromagnetic Theory of Light“ sehen kann. In der „Treatise“ ab 1873 wurde dagegen Nabla als vektorische Quaternione verstanden. Dann aber ist nach (2.2)

Nabla²= − Δ = – ( ^∂²/_∂x² + ^∂²/_∂y² + ^∂²/_∂z²),

und so stehen im Abschnitt „Propagation of Undulations in a Non-conducting Medium“ „falsche“ Wellengleichungen, bis man sich an den zwischen 1865 und 1873 stattgefundenen Vorzeichenwechsel bei Nabla²erinnert.

Weil die beiden möglichen Auffassungen des Nabla-Operators Vorzeichenunterschiede bewirken können, wollen wir die beiden Versionen typographisch unterscheiden. Mit "nabla" soll im folgenden der vektorische nabla-Operator verstanden werden:

nabla : = (^∂/_∂x , ^∂/_∂y , ^∂/_∂z ).

Dagegen ist mit "Nabla" die zugehörige Quaternione gemeint:

Nabla : = (0, nabla).

3. Die Gleichungen von 1873 (1891)

Die in der folgenden Übersicht grün markierten Einträge sind heutige Zusätze, die Maxwell im Sinne der intendierten Einführung von Quaternionen konsequenterweise hätte vornehmen können, aber aus irgendwelchen Gründen unterlassen, möglicherweise auch einfach vergessen hat.

S. / Gl.

Maxwells Original-Gleichungen in [2]

Transkription

Vektor-Schreibweise

S.233 (A)

a = ^dH/_dy – ^dG/_dz

b = ^dF/_dz – ^dH/_dx

c = ^dG/_dx – ^dF/_dy

B = V.Nabla A

(F,G,H) = A

(a,b,c) = B

B = (0,B)

A = (0,A)

B = nabla × A

S.239 (B)

S.241 (10)

P = c ^dy/_dt − b ^dz/_dt − ^dF/_dt − ^dΨ/_dx

Q = a ^dz/_dt − c ^dx/_dt − ^dG/_dt − ^dΨ/_dy

R = b ^dx/_dt − a ^dy/_dt − ^dH/_dt − ^dΨ/_dz

E = V.GB − A^· −Nabla Ψ

(P,Q,R) = E
E = (0,E)

G = (0,v)

Ψ = φ

E = v×B – ^∂A/_∂t – nabla φ

S.245 (C)

(11)

X = vc – wb

Y = wa – uc

Z = ub – va

F = V.CB

(X,Y,Z) = F

(u,v,w) = j

F = (0,F)

C = (0, j)

F = j ×B

S.249 (D)

B = H +4π J

J = (0,M)

(A,B,C) = M

B = H +4π M

S.251 (E)

?4π?u = ^dγ/_dy – ^dβ/_dz

?4π?v = ^dα/_dz – ^dγ/_dx

?4π?w = ^dβ/_dx – ^dα/_dy

C = V.Nabla H

?4π?(u,v,w) = j

C = (0, j)

(α,β,γ) = H

H = (0,H)

j = nabla × H

S.252 (F)

D = ^K/_4π E

^K/_4π = ε

D = (0,D)

E= (0,E)

D = ε E

S.253 (G)

K = C E

C = σ

K = (0, j₀)

(p,q,r) = j₀

j₀ = σ E

S.253 (H)

C = K + D^·

C = j

j = j₀ + ^∂D/_∂t

S.253 (I)

C = (C + ^K/_4πd/dt) E

C = σ, ^K/_4π = ε

j = (σ + ε ^∂/_∂t) E

S.254 (J)

ρ = ^df/_dx+ ^dg/_dy + ^dh/_dz

ρ = – S.Nabla D

(f,g,h) = D

D = (0,D)

ρ = nabla ·D

S.254 (L)

B = μ H

B = (0,B)

B = μ H

Aus der obigen Übersicht ist bereits ohne Rechnung ersichtlich, wie geringfügig die von Heaviside und Gibbs vorgenommene Änderung der Schreibweise war: Aus Maxwells negativem Skalaranteil des Produkts zweier vektorischer Quaternionen (0,a) und (0,b) wurde das Skalarprodukt:

− S.(0,a)(0,b) ↔ a · b

und aus dem Vektoranteil von Maxwells Quaternionen-Produkt das Vektorprodukt:

V.(0,a)(0,b) ↔ a × b

Bei Produkten von Quaternionen steht in den Original-Maxwell-Gleichungen stets entweder das Auswahlsymbol S. oder V., die sich beide unmittelbar durch Skalar- bzw. Vektorprodukt ersetzen lassen.

Natürlich kann man aus Maxwells Gleichungen auch sofort die heute üblichen Maxwell-Gleichungen folgern:

Aus (J) folgt

(3.1) div D = ρ,

aus (A) folgt durch Divergenzbildung wegen div B = div rot A = 0 sofort

(3.2) div B = 0.

Durch Einsetzen von (E) in (H) ergibt sich

(3.3) rot H = j₀ + ^∂D/∂t

Die Bildung der Rotation von (10), der Quaternionenform von (B), liefert für v = 0 wegen (A) und rot grad φ = 0

(3.4) rot E = – ^∂B/∂t.

Spekulativ eingestellte Laien haben hier den Vorwurf erhoben, es sei durch den Übergang (10) → (3.4) das Potential Ψ (bzw. φ) verloren gegangen. Das ist ein törichter Vorwurf. Denn es gehört zum mathematischen Grundwissen, dass eine rotationsfreie Größe Z stets lokal ein Potential Ψ besitzt. Deswegen kann man im Bedarfsfall den Übergang (10) → (3.4) jederzeit umkehren, was in der Maxwell-Theorie auch gelegentlich praktiziert wird. Etwas anders ist die Situation bezüglich des magnetischen Potentials Ω, das in Maxwells Grundgleichungen (A,...,I) nirgends erscheint. Maxwell schreibt dazu bei Erwähnung von Ω einschränkende Zusätze wie "where it exists" ([2] S.257) oder "When the magnetic force can be derived from a potential" ([2] S.259). Das aber ist bei Auftreten von Strömen, insbesondere im instationären Fall wegen des Auftretens von Verschiebungsströmen ∂D/∂t, nicht mehr der Fall, weil die Rotation von H nach den Gleichungen (E) und (H) i.a. nicht mehr Null ist, und Ω somit nicht existiert.

Außerdem hat man alle Materialgleichungen zur Verfügung:

(L) B = μ H,

(F) D = ε E

und das Ohmsche Gesetz

(G) j₀ = σ E.

Das bedeutet, dass Maxwells ursprüngliche Gleichungen für v = 0 keine Lösungen haben kann, die nicht auch die modernen Maxwellgleichungen lösen.

Es sind bei der Modernisierung keine Lösungen verloren gegangen.

Der Fall v ≠ 0 wurde schon in Abschnitt 1 besprochen.

Literatur

[1] J. C. Maxwell: A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, Philosophical Transactions of the Royal Society of London 155 (1865) 459-512

[2] J. C. Maxwell: A Treatise on Electricity and Magnetism (1873, 1881, 1891) Bde 1 u. 2 Ungekürzter Nachdruck der letzten Auflage 1891 Dover 1954, ISBN 0-486-60636-8 und 0-486-60637-6

[3] A. Einstein: Zur Elektrodynamik bewegter Körper, Annalen der Physik, IV. Folge 17 (1905)

http://www.wiley-vch.de/berlin/journals/adp/890_921.pdf

[4] G. W. Bruhn: Zur Behandlung bewegter Leiterschleifen mit dem Faraday-Maxwellschen Induktionsgesetz,

http://www2.mathematik.tu-darmstadt.de/~bruhn/BewegteLeiter.htm