Mathjax

Diese Seite enthält einige Testeingaben zur Prüfung von Mathjax

Ein Integral (displayed): $$ \int_0^1 f(x) dx = 7. $$

Ein Test fuer Inline-Formeln: $ \sqrt{a} = \frac{3}{5} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}}$. Hieraus folgt $ a = \frac{9}{25} $.

Abstract. After a result of Fitzpatrick, for any maximal monotone operator $ \alpha : V \rightarrow {\cal P}(V') $ there exists a function $ J : V 舴' \rightarrow \mathbb{R} \cup \{ + \infty \} $ such that $$ J_\alpha (v, v' ) = \inf_{V \times V'} J_\alpha = 0 \Leftrightarrow v' \in \alpha(v). $$ Here we discuss the prescription of the minimum value.

Eqnarray in normaler Schriftgröße: Randwertproblem für den Laplace-Operator: \begin{eqnarray} \Delta u(x) + \lambda u(x) &=& f(x), \quad x \in \Omega\\ u(x) &=& g(x), \quad x \in \partial \Omega. \end{eqnarray}

Eqnarray in kleinerer Schriftgröße:

Randwertproblem für den Laplace-Operator: \begin{eqnarray} \Delta u(x) + \lambda u(x) &=& f(x), \quad x \in \Omega\\ u(x) &=& g(x), \quad x \in \partial \Omega. \end{eqnarray}

Ganz kleine Schriftgröße:

Inline-Formel: $\alpha : V \rightarrow {\cal P}(V') $, Eqnarray: Randwertproblem für den Laplace-Operator: \begin{eqnarray} \Delta u(x) + \lambda u(x) &=& f(x), \quad x \in \Omega\\ u(x) &=& g(x), \quad x \in \partial \Omega. \end{eqnarray}

Lösung eines Systems linearer gewöhnlicher Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

Gegeben sei das Anfangswertproblem \begin{align} g'(t) &= A g(t) + c(t), \\ g(0) &= a. \end{align} wobei $ A \in \mathbb{R}^{n \times n} $ eine gegebene quadratische Matrix ist, $ c(t) \in \mathbb{R}^n $ für jede Zeit $t $ einen gegebenen Vektor bedeutet und $ a \in \mathbb{R}^n $ der Vektor der Anfangswerte ist. Gesucht ist die Lösungs $ t \mapsto g(t) \in \mathbb{R}^n $.
Genau wie bei einer (skalaren) gewönlichen Differentialgleichung ist die Lösung gegeben durch die Formel $$ g(t) = e^{At} a + \int_0^t e^{A(t-s)} c(s)\, ds, $$ wobei die Matrixexponentialfunktion definiert ist durch \begin{equation}\label{E4} e^{At} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(At)^k}{k!}. \end{equation} Die Matrixexponentialfunktion ist also durch dieselbe Reihe definiert wie die gewöhnliche Exponentialfunktion, jedoch sind $ e^{At} $ und $ e^{A(t-s)} $ quadratische $ n\times n $-Matrizen. $e^{At}$ hat ganz ähnliche Eigenschaften wie die gewöhnliche Exponentialfunktion: die Reihe konvergiert für alle $ t \in \mathbb{R} $ und es gilt $$ \frac{d}{dt} e^{At} = A e^{At}, \qquad e^{A0} = e^0 = I, $$ mit der Einheitsmatrix \[ I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ \vdots &&&& \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 \end{pmatrix}. \] $ e^{At} a \in \mathbb{R}^n $ ist das Matrixprodukt der Matrix $ e^{At} $ mit dem Vektor $a $.

Natürlich kann man für praktische Rechnungen die Reihe \eq{4} abbrechen, wenn die folgenden Terme genügend klein sind.