Ableitung einer Funktion und Kettenregel
In der Formel
$$ y = e^{-ax} $$
hat \(y\) zwei unterschiedliche Bedeutungen, die zu Verwirrung
führen können:
1.) \(y\) ist die Zahl \( e^{-ax}\), wobei man sich vorstellt,
dass \(x\) eine gegebene, feste Zahl ist.
2. \(y\) ist der Name der Funktion, die jeder reellen Zahl \(x\)
die reelle Zahl \(e^{-ax}\) zuordnet. In diesem Fall stellt man
sich vor, dass \(x\) variabel ist und verschiedene Werte
annehmen kann. In diesem Fall wäre es besser, die Formel in
der Form
$$ y(x) = e^{-ax} $$
zu schreiben. Dabei bedeutet \(y(x)\) diejenige Zahl, die der Zahl
\(x\) durch die Funktion \(y\) zugeordnet wird.
Berechnung der Ableitung
Die Ableitung kann man nur berechnen, wenn \(y\) eine Funktion ist,
also die zweite Bedeutung hat. Denn von einer Zahl kann man
natürich die Ableitung nicht berechnen.
Erste Methode
Am einfachsten kann die Ableitung folgendermaßen berechnet
werden: \(e^{-ax}\) ist die Hintereinanderausführung der
Exponentialfunktion, die der Zahl \(z\) die Zahl \(e^z\)
zuordnet, und der linearen Funktion, die der Zahl \(x\) die Zahl
\(-ax\) zuordnet. Die Exponentialfunktion bezeichnet man oft auch mit
\(\rm exp\). Bezeichnet man die lineare Funktion mit \(f\), also
\(f(x) = -ax\), dann kann man die abzuleitende Funktion in der
Form
$$ y(x) = {\rm exp}(f(x)) = e^{-ax} $$
schreiben. Zur Berechnung der Ableitung der
Hintereinanderausführung von zwei Funktionen muss man die
Kettenregel anwenden. Man erhält also
$$ y'(x) = {\rm exp}'(f(x)) f'(x). $$
Für die Ableitung der Exponentialfunktion gilt \({\rm exp}' =
{\rm exp}\),
für die Ableitung der linearen Funktion gilt \(f'(x) =
-a\). Es folgt also
$$ y'(x) = {\rm exp}'(f(x)) f'(x) = {\rm exp}(f(x)) (-a) = -a\, {\rm
exp}(-ax) = -a e^{-ax}. $$
Zweite Methode
Alternativ kann man natürlich die abzuleitende Gleichung
logarithmieren umd die Ableitung des Logarithmus
verwenden. Natürlich muss auch in diesem Fall die
Kettenregel verwendet werden. Man erhät:
$$
{\rm ln}( y(x)) = {\rm ln} e^{-ax} = -ax, $$
also
$$ \frac{d}{dx} {\rm ln} (y(x)) = {\rm ln}'(y(x)) y'(x) =
\frac{1}{y(x)} y'(x) = \frac{d}{dx} (-ax) = -a, $$
also
$$
y'(x) = -a y(x) = -a e^{-ax}. $$