Vorlesung am 16.10.2014: Wegintegrale
Sei \( X:[a,b] \to \mathbb{R}^n \) eine Weg mit zugehöriger Kurve \( K = B(X)\) und \(f: K \to \mathbb{R} \) eine stetige Funktion. Das Wegintegral \( \int_X f(x) d\sigma(x) \) über \( f \) entlang des Weges \( X \) ist definiert durch $$ \int_X f(x) d\sigma(x) = \int_a^b f(X(t))\, \| X'(t) \|\, dt. $$ \( d \sigma(x) \) ist ein Symbol ohne weitere Bedeutung. ( \( \sigma \) = Sigma). Zur Veranschaulichung kann man sich unter \( d \sigma(x) \) ein sehr kurzes Stück des Weges \( X \) (oder der Kurve \(K\)) vorstellen, ebenso wie man sich \( dt \) als sehr kurzes Stück des Intervalls \( [a,b]\) vorstellen kann.Man kann \( d \sigma(x) \) auch als Abkürzung für den Ausdruck \( \| X'(t)\| dt \) auffassen.
Eine stetig differenzierbare Funktion \( X:[a,b] \to \mathbb{R} \)
kann als Weg im \( \mathbb{R}^1\) aufgefasst werden. Die Kurve
\( K = B(X) \) ist dann ein Intervall, und die Formel für das
Wegintegral ist
$$ \int_X f(x) d\sigma(x) = \int_a^b f(X(t))\, | X'(t) |\, dt. $$
Die Substitutionsformel lautet
$$ \int_{X(a)}^{X(b)} f(x) dx = \int_a^b f(X(t))\, X'(t)\, dt. $$
Ist \( X:[a,b] \to \mathbb{R} \) eine Parametrisierung von \( K \),
dann ist \( X'(t) \geq 0 \) für alle \(t\) und \( K = B(X) =
[X(a),X(b)] \). In diesem Fall stimmt die Formel für das
Wegintegral mit der Substitutionsformel überein.
Vorlesung vom 23.10.2014: Gegenbeispiel zur Existenz eines Potentials
1. Ein Vektorfeld in einem Kreisring
Gegeben sei der Kreisring $$ M=\Big\{(x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2 \Bigm| \frac12 < |x|<2 \Big\}. $$ \( M \) ist nicht einfach zusammenhängend. Auf \( M \) sei das stetig differenzierbare Vektorfeld $$ F(x_1,x_2)= \left(- \frac{x_2}{x_1^2+ x_2^2}, \frac{x_1}{x^2_1 +x^2_2}\right) $$ definiert. Obwohl die Beziehung $$ \frac{\partial F_1}{\partial x_2} (x_1,x_2)= \frac{x^2_2-x^2_1}{(x^2_1+x^2_2)^2}= \frac{\partial F_2}{\partial x_1} (x_1,x_2) $$ gilt, existiert auf \(M\) kein Potential \(\varphi\) zu \(F\). Denn andernfalls müsste für das Wegintegral entlang jeden geschlossenen Weges \(X:[a,b] \to M\) gelten $$ \int_X F \cdot dX =\varphi \big(X(b)\big)- \varphi \big(X(a)\big)=0. $$ Für das Wegintegral über \(F\) entlang des geschlossenen Weges \(X:[0,2\pi] \to M\), $$ X(t)=(\cos t,\sin t) $$ ergibt sich aber wegen \((\cos t)^2+(\sin t)^2=1\), dass \begin{align*} \int_X & F \cdot dX= \int_0^{2\pi} F\big(X(t)\big) \cdot \dot{X}(t)\, dt\\ &= \int_0^{2\pi} \begin{pmatrix} - \sin t\\ \phantom{-}\cos t \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} - \sin t\\ \phantom{-}\cos t \end{pmatrix} dt\\ &= \int_0^{2\pi} (\sin t)^2 + (\cos t)^2 \,{\rm d}t= \int\limits_0^{2\pi} \,dt=2\pi. \end{align*}2. Dasselbe Vektorfeld in einem aufgeschnittenen Kreisring
Dagegen ist der aufgeschnittene Kreisring $$ M_1=M \smallsetminus \Big\{(x_1,0) \Bigm| -2 < x_1 < - \frac12\Big\} $$ einfach zusammenhängend, also muss es zu \(F\) ein Potential \(\varphi\) auf \(M_1\) geben. Ein solches Potential ist \(\varphi:M_1 \to \mathbb{R}\) $$ \varphi(x)=\arg (x), \quad x \in M_1, $$ wobei \(\arg x\) der Winkel zwischen der positiven \(x_1\)-Achse und dem Ortsvektor von \(x\) ist. Ist \(\arctan\) der Hauptwert der Umkehrfunktion von \(\tan\), dann gilt im Durchschnitt von \(M_1\) und der rechten Halbebene, dass $$ \varphi (x)=\arctan \frac{x_2}{x_1}. $$ Im Durchschnitt von \(M_1\) und der oberen Halbebene ist $$ \varphi(x)=\arctan \Big(- \frac{x_1}{x_2}\Big)+ \frac{\pi}{2}, $$ im Durchschnitt von \(M_1\) und der unteren Halbebene gilt $$ \varphi(x)=\arctan \Big(- \frac{x_1}{x_2}\Big)- \frac{\pi}{2}. $$ Das Potential \(\varphi\) kann nicht vom aufgeschnittenen Kreisring \(M_1\) auf den ganzen Kreisring \(M\) fortgesetzt werden. Denn nähert man sich einem Punkt \(z=(z_1,0) \in M\) auf der negativen \(x_1\)-Achse von der oberen Halbebene her, dann konvergiert der Wert des Potentials gegen \(\pi\): $$ \underset{x_2>0}{\lim_{x_2 \to 0}} \varphi (z_1,x_2)=\pi, $$ nähert man sich von der unteren Halbebene her, dann konvergiert der Wert gegen \(-\pi\): $$ \underset{x_2<0}{\lim_{x_2 \to 0}} \varphi (z_1,x_2)=-\pi. $$ \(\varphi\) hat einen Sprung von \(2\pi\) auf der negativen \(x_1\)-Achse und kann nicht stetig auf die negative \(x_1\)-Achse fortgesetzt werden. Daher existiert die partielle Ableitung \(\frac{\partial}{\partial x_2}\varphi(x)\) auf der negativen \(x_1\)-Achse nicht. Wäre \( \varphi \) ein Potential auf \(M\), müßte diese partielle Ableitung existieren; also gibt es kein Potential auf \( M \).3. Derselbe Kreisring anders aufgeschnitten
Auch der aufgeschnittene Kreisring $$ M_2 = M \smallsetminus \Big\{(0,x_2) \Bigm| \frac12 < x_2 < 2 \Big\} $$ ist einfach zusammenhängend, also muss auch auf \(M_2\) ein Potential \(\varphi_2\) existieren. Das Potential \(\varphi_2\) ist wieder gegeben durch $$ \varphi_2(x)=\arg (x), \quad x \in M_2, $$ nur liegt der \(2\pi\)-Sprung von \(\varphi_2\) jetzt auf der positiven \(x_2\)-Achse.Vorlesung am 30.10.2014: Definition von Flächen und Flächenstücken
Definition der Parametrisierung eines Flächenstücks:( \(\overline{D}\) ist der Abschluss der Menge \(D\). Der Abschluss besteht aus allen Punkten von \(D\) und aus der Menge der Randpunkte \(\partial D\) von \(D\). )
Der Grund für diese komplizierte Defintion der Parametrisierung einer Fläche ist folgender: Die Parametrisierung einer Fläche ist eine Abbildung, die die Ebene auf die Fläche abbildet. Bei solchen Abbildungen gibt es prinzipielle Schwierigkeiten. Eigentlich möchte man haben, dass die Parametrisierung eine bijektive Abbildung des Parameterbereichs auf die Fläche ist, d.h. jedem Flächenpunkt soll genau ein Punkt im Parameterbereich entsprechen. Für viele Fläechen gibt es aber keine solche Parametrisierung. Ein wichtiges Beispiel ist die Kugeloberfläche. Eine Weltkarte im Atlas ist eine Abbildung \(F\) eines Stücks der Ebene, nämlich der Karte, auf die Erdoberfläche, eine Sphäre. Jedem Punkt auf der Weltkarte entspricht ein Punkt auf der Erdoberfläche. Durch diese Zuordnung wird die Abbildung \(F\) definiert. Eine Weltkarte im Atlas ist aber immer sehr stark verzerrt und zeigt nie alle Punkte der Erdoberfläche. Bei der üblichen Darstellung sind Nord- und Südpol auf der Weltkarte nicht zu sehen und die Bereiche der Erdoberfläche in der Nähe der Pole sind extrem verzerrt.
Genauer: Entweder verzichtet man ganz auf die Dartstellung von Nord- und Südpol, oder man muss beide Pole zu Strichen auseinanderziehen, nämlich den ganzen oberen und unteren Rändern der Karte. Jeder Punkt dieser Striche wird auf den Nord- oder Südpol abgebildet, also ist die Abbildung \(F\) nicht injektiv. Die nicht-Injektivität tritt aber nur in den Randpunkten der Karte auf. Im Innern der Karte, also des Kartenblatts, ist die Abbildung injektiv. Das Innere des Kartenblatts ist \(D\). Schränkt man \(F\) auf das Innere des Kartenblatts ein, stellt man also Nord- und Südpol nicht dar, dann hat man kein Problem mit der Injektivität, aber das Flächenstück \( {\cal F} = B(F) \) ist nicht die ganze Erdoberfläche, es fehlen die beiden Pole.
Dieses Beispiel erklärt, warum in der Definition verlangt wird, dass eine Parametrisierung auf ganz \(\overline{D}\) definiert sein soll, aber nur im Innern \(D\) injektiv zu sein braucht. Aus demselben Grund wird nur verlangt, dass die Funktionalmatrix den Rang 2 im Innern \(D\) besitzt, auf dem Rand \(\partial D\) aber einen kleineren Rang haben kann.
Vorlesung am 4.11.2014: Rotation und Wegunabhängigkeit von Kurvenintegralen
In einem Gebiet \(G\subseteq \mathbb{R}^3\) sei ein stetig differenzierbares Vektorfeld \(H:G \to \mathbb{R}^3\) gegeben mit \({\rm rot}\, H(x)=0\) für alle \(x \in G\).Aus dem Stokeschen Satz folgt, dass für jede geschlossene Kurve \(K\) in \(G\) das Kurvenintegral über \(H\) entlang von \(K\) den Wert Null hat, falls das Gebiet \(G\) einfach zusammenhängend ist.
Das sieht man folgendermaßen: Sei \(X:[a,b]\to G\) eine stetig differenzierbare Parametrisierung der geschlossenen Kurve \(K\) mit Anfangs- und Endpunkt \(P=X(a)=X(b)\).
Wenn \(G\) einfach zusammenhängend ist, kann man die Kurve \(K\) auf den Punkt \(P\) zusammenziehen. Wärend des Zusammenziehens überstreicht die Kurve ein Flächenstück \(\mathcal{F}\), das ganz in \(G\) liegt. Der Rand des Flächenstückes ist \(K\):
$$
\partial \mathcal{F}=K.
$$
Auf der Fläche gibt es ein stetiges Normalenvektorfeld \(N: \mathcal{F} \to \mathbb{R}^3\). Nach dem Stokeschen Satz gilt also wegen \({\rm rot} H(x)=0\), dass
$$
\int_K H \cdot dX = \int_{\partial \mathcal{F}}H \cdot dX = \int_{\mathcal{F}} N(x) \cdot {\rm rot}\, H(x) \,d\sigma(x)=0.
$$
Dies beweist die Behauptung.
Vorlesung vom 4.11.2014: Beweis des Stokeschen Satzes im \(\mathbb{R}^2\)
Stokescher Satz in der Ebene
Sei \(G \subseteq \mathbb{R}^2\) ein beschränktes Gebiet. Der Rand \(\partial G\) sei eine stetig differenzierbare, geschlossene Kurve. \(H:\overline{G} \to \mathbb{R}^2\) sei ein stetig differenzierbares Vektorfeld mit der Komponentendarstellung \(H=(P,Q)\). Dann gilt $$ \int\limits_G \Big(\frac{\partial Q}{\partial x_1}(x)- \frac{\partial P}{\partial x_2}(x)\Big)\,{\rm d}x= \int\limits_{\partial G} H \cdot \;{\rm d}X, $$ wobei die Parametrisierung \(X\) von \(\partial G\) so gewählt wird, dass der Punkt \(X(t)\) das Gebiet \(G\) im mathematisch positiven Sinn umläuft.
Beweis (unter der Annahme, dass \(G\) ein Normalbereich ist)
Weil \(G\) ein Normalbereich ist, gibt es ein Intervall \([a,b]\) und zwei stetige Funktionen \(g:[a,b] \to \mathbb{R}\;\), \(h:[a,b] \to \mathbb{R}\) mit
$$
G=\big\{(x_1,x_2)\;\big\vert\; x_1 \in [a,b], \; g(x_1) \leq x_2 \leq h(x_1)\big\}.
$$
Mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ergibt sich also
\begin{align}
- & \int\limits_G \frac{\partial P}{\partial x_2}(x)\,{\rm d}x=- \int\limits_a^b \int\limits_{g(x_1)}^{h(x_1)} \frac{\partial P}{\partial x_2} (x_1,x_2) \,{\rm d}x_2\,{\rm d}x_1 \nonumber\\
&=-\int\limits_a^b P\big(x_1,h(x_1)\big)-P\big(x_1,g(x_1)\big)\,{\rm d}x_1. \tag{*}
\end{align}
Der Rand \(\partial G\) setzt sich zusammen aus \({\rm graph}(h)\) und \({\rm graph}(g)\). Eine Parametrisierung von \({\rm graph}(h)\) ist gegeben durch \(Z:[a,b] \to \mathbb{R}^2\) mit \(Z(t)=\big(t,h(t)\big)\), eine Parametrisierung von \({\rm graph}(g)\) ist gegeben durch \(Y:[a,b] \to \mathbb{R}^2\) mit \(Y(t)=\big(t,g(t)\big)\). Im Punkt \(x=Y(t)\in {\rm graph}(g)\) zeigt der Einheitstangentenvektor
$$
\tau(x)= \tau\big(Y(t)\big)= \frac{Y'(t)}{\|Y'(t)\|}= \frac{1}{\|Y'(t)\|}
\begin{pmatrix}
1\\
g'(t)
\end{pmatrix}
$$
in Richtung des Umlaufs um \(G\) im mathematisch positiven Sinn, im Punkt \(x=Z(t) \in {\rm graph}(h)\) gilt dies für den Einheitstangentenvektor
$$
\tau(x)=\tau\big(Z(t)\big)= - \frac{Z'(t)}{\|Z'(t)\|}= \frac{-1}{\|Z'(t)\|}
\begin{pmatrix}
1\\
h'(t)
\end{pmatrix}.
$$
Für die \(\tau_1\)-Komponente des Vektors \(\tau\) gilt also \(\tau_1(x)= \frac{1}{\|Y'(t)\|}\) beziehungsweise \(\tau_1(x)= \frac{-1}{\|Z'(t)\|}\).
Damit folgt
\begin{align*}
- &\int\limits_a^b P\big(x_1,h(x_1)\big)-P \big(x_1,g(x_1)\big)\,{\rm d}x_1 \\
&= -\int\limits_a^b P\big(Z(t)\big) \,{\rm d}t + \int\limits_a^b P\big(Y(t)\big)\,{\rm d}t\\
&= -\int\limits_a^b P \big(Z(t)\big) \frac{1}{\|Z'(t)\|} \|Z'(t)\|\,{\rm d}t+ \int\limits_a^b P\big(Y(t)\big) \frac{1}{\|Y'(t)\|} \|Y'(t)\|\,{\rm d}t\\
&=\int\limits_a^b P\big(Z(t)\big) \tau_1\big(Z(t)\big) \|Z'(t)\|\,{\rm d}t+ \int\limits_a^b P\big(Y(t)\big) \tau_1\big(Y(t)\big) \|Y'(t)\|\,{\rm d}t\\
&=\int\limits_{{\rm graph}(h)} P(x) \tau_1(x)\,{\rm d}\sigma(x)+ \int\limits_{{\rm graph}(g)} P(x) \tau_1(x)\,{\rm d}\sigma(x) =\int\limits_{\partial G} P(x) \tau_1(x)\,{\rm d}\sigma(x).
\end{align*}
Ich setze diese Gleichung in die Gleichung (*) ein und erhalte
$$
-\int\limits_G \frac{\partial P}{\partial x_2}(x)\,{\rm d}x= \int\limits_{\partial G} P(x) \tau_1(x)\,{\rm d}\sigma(x).
$$
Durch \(x_1\)-Projektion des Gebietes \(G\) erhält man auf dieselbe Weise
$$
\int\limits_G \frac{\partial Q}{\partial x_1}(x)\,{\rm d}x= \int\limits_{\partial G} Q(x) \tau_2(x)\,{\rm d}\sigma(x).
$$
Die beiden letzten Gleichungen ergeben zusammen
\begin{align*}
\int\limits_G \Big(\frac{\partial Q}{\partial x_1} &(x)- \frac{\partial P}{\partial x_2}(x)\Big)\,{\rm d}x=\int\limits_{\partial G} Q(x) \tau_2(x)+ P(x) \tau_1(x)\,{\rm d}\sigma(x)\\
&=\int\limits_{\partial G} H(x) \cdot \tau(x) \,{\rm d}\sigma(x)= \int\limits_{\partial G} H \cdot \,{\rm d}X.
\end{align*}
Dies ist die Formel im Stokeschen Satz.
Vorlesung vom 25.11.2014: Umkehrung von Satz 5.1
Im Vorlesungsskript zum 25.11. auf Seite 2 und im Buch auf Seite 39 steht folgender
Satz Sei \(I\) ein Intervall. Sind die Funktionen \(y_1,\dots,y_n:I \to {\mathbb R}\) linear abhängig, dann gilt für die Wronski-Determinante $$ \det W(x)=0, $$ an jeder Stelle \(x \in I\).
Das folgende Gegenbeispiel (von Carsten Schäfer) zeigt, dass die Umkehrung dieses Satzes nicht gilt:
Sei \(I={\mathbb R}\). Die stetig differenzierbaren Funktionen \(y_1,y_2:{\mathbb R} \to {\mathbb R}\) seien definiert durch
$$
y_1(x)=
\begin{cases}
0, & x \leq 0\\
x^2,& x>0
\end{cases},
\qquad
y_2(x)=
\begin{cases}
x^2, & x \leq 0\\
0, &x>0
\end{cases}.
$$
Diese beiden Funktionen sind linear unabhängig voneinander, aber es gilt für \(x \leq 0\)
$$
\det W(x)= \det
\begin{pmatrix}
y_1(x) & y_2(x)\\
y'_1(x) & y'_2(x)
\end{pmatrix}
= \det
\begin{pmatrix}
0 & x^2\\
0 & 2x
\end{pmatrix}
=0,
$$
und für \(x>0\)
$$
\det W(x)=
\begin{pmatrix}
x^2 & 0\\
2x & 0
\end{pmatrix}
=0.\qquad\qquad\qquad\blacksquare
$$
Vorlesung vom 4.12.2014: Lösung eines Systems linearer gewöhnlicher Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
Gegeben sei das Anfangswertproblem
\begin{align*}
g'(t) &= A g(t) + c(t), \\
g(0) &= a,
\end{align*}
wobei \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \) eine gegebene quadratische
Matrix ist, \( c(t) \in \mathbb{R}^n \) für jede Zeit \(t \)
einen gegebenen Vektor bedeutet und \( a \in \mathbb{R}^n \) der Vektor
der Anfangswerte ist. Gesucht ist die Lösung \( t \mapsto g(t)
\in \mathbb{R}^n \).
Genau wie bei einer (skalaren) gewöhnlichen Differentialgleichung ist die Lösung gegeben durch die Formel $$ g(t) = e^{At} a + \int_0^t e^{A(t-s)} c(s)\, ds, $$ wobei die Matrixexponentialfunktion definiert ist durch \begin{equation}\label{E1} e^{At} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(At)^k}{k!}. \end{equation} Hierbei ist $$ (A t )^0 = A^0 = I, $$ für alle \( t \in \mathbb{R}\), mit der Einheitsmatrix \[ I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ \vdots &&&& \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 \end{pmatrix}. \] \( e^{At} a \in \mathbb{R}^n \) ist das Matrixprodukt der Matrix \( e^{At} \) mit dem Vektor \(a \).
Die Matrixexponentialfunktion ist also durch dieselbe Reihe definiert wie die gewöhnliche Exponentialfunktion, jedoch sind \( e^{At} \) und \( e^{A(t-s)} \) quadratische \( n\times n \)-Matrizen. \(e^{At}\) hat ganz ähnliche Eigenschaften wie die gewöhnliche Exponentialfunktion: die Reihe konvergiert für alle \( t \in \mathbb{R} \) und es gilt $$ \frac{d}{dt} e^{At} = A e^{At}, \qquad e^{A0} = e^0 = I, $$ Natürlich kann man für praktische Rechnungen die Reihe \eqref{E1} abbrechen, wenn die folgenden Terme genügend klein sind.