Zum 2. Hauptsatzes der Thermodynamik

im Fall des Zwei-Kugel-Problems

von Gerhard W. Bruhn, Fachbereich Mathematik der TU Darmstadt

1. Präzisierung eines fehlgeschlagenen Widerlegungsversuches

In [1] versucht W.M. Bauer den 2. Hauptsatz zu widerlegen (vgl. auch Meyl [2]), indem er mit einer Optik (Parabolspiegel) die Wärmestrahlen einer Kugel sammelt und auf eine zweite wärmere Kugel überträgt. Weil dabei jedoch die Abgeschlossenheit des zu verwendenden Systems vergessen wurde, ist das Gegenbeispiel untauglich: Beide Kugeln würden durch Abstrahlen ihrer Energie auskühlen. Dieses Defizit des Bauer-Meylschen Vorschlages kann man beheben, indem man die beiden Kugeln mit einer weiteren nach innen total verspiegelten Kugel umgibt, welche das Abstrahlen der Wärmeenergie ins Unendliche verhindert und auch keine neue Energie ins System lässt. Für praktische Durchrechnung ist das System immer noch zu kompliziert, doch kann man, einem Gedanken von H. Müller [3] folgend, das System dadurch vereinfachen, indem man eine der Kugeln mit der Außenkugel identisch macht und beide Kugeln konzentrisch positioniert. Wie im Fall des obigen Vorschlages wird jetzt die gesamte Abstrahlenergie der größeren Kugel auf die kleinere Kugel fokussiert, d.h. die Innenseite der Außenkugel übernimmt auch die optische Aufgabe des Parabolspiegels. Wie wir sehen werden, lässt sich die frühere Argumentation auf dieses vereinfachte Modell übertragen. Die Rechnung lässt sich vollständig durchführen und liefert volle Auskunft über die tatsächliche Situation.

K₁ und K₂ seien zwei konzentrische Kugelflächen mit Radien R₁ und R₂ > R₁. Die Kugeln seien zum Hohlraum zwischen den Kugelflächen "schwarz", d.h. absorbieren auftreffende Strahlung total. (Infolge dieser Annahme gibt es keine Mehrfach-Reflektionen, was die Betrachtung wesentlich vereinfacht.) Der Hohlraum sei leer gepumpt. Die Temperaturen auf den Flächen seien T₁ bzw. T₂, wobei T₂ < T₁ angenommen wird. Beide Flächen seien gegen weitere Energiezufuhr isoliert, so dass K₁ und K₂ mit dem dazwischen befindlichen Hohlraum ein abgeschlossenes System bilden.

Wir beginnen mit einem Widerlegungsversuch, wie er dem Autor [2] wohl vorgeschwebt haben mag, der die Voraussetzung der Abgeschlossenheit vielleicht nur vergessen hat.

Nach dem Stefan-Boltzmann-Gesetz strahlt ein Oberflächenelement do eines schwarzen Körpers der Temperatur T pro Flächeneinheit in den angrenzenden Raum die Leistung

dL = σ T⁴ do

ab. Somit strahlt die Innenkugel K₁ der Temperatur T₁ mit dem Oberflächeninhalt |K₁| = 4πR₁² die Leistung

L₁₂ = σ T₁⁴ 4πR₁² = C R₁² T₁⁴

ab, während die Außenkugel K₂ der Temperatur T₂ analog die Leistung

L₂₁ = σ T₂⁴ 4πR₂² = C R₂² T₂⁴

(mit der gleichen Konstanten C) abstrahlt.

Die Leistungsbilanz der Außenkugel K₂ ist

(Zufluss - Abfluss)₂ = C (R₁² T₁⁴ - R₂² T₂⁴) = - C R₂² T₁⁴ [(T₂/T₁)⁴ - (R₁/R₂)²]

während die Bilanz der Innenkugel ergibt:

(Zufluss - Abfluss)₁ = C (R₂² T₂⁴ - R₁² T₁⁴) = C R₂² T₁⁴ [(T₂/T₁)⁴ - (R₁/R₂)²]

Nun ist das Radienverhältnis R₁/R₂ noch frei wählbar. Wählt man aber R₁/R₂ < (T₂/T₁)², so folgt, dass der schon wärmeren Innenkugel noch weitere Energie zufließt, während der kälteren Energie entzogen wird.

Damit scheint die Aussage der Arbeiten [1] und [2] (nach Hinzufügung der dort fehlenden Abgeschlossenheit des Systems) glänzend bestätigt zu sein. Dass hiermit jedoch zu kurz gegriffen wurde, wird sich im folgenden Abschnitt erweisen.

2. Details des Strahlenganges

Ein strahlendes Oberflächenelement do sendet seine Strahlung in den angrenzenden Raum nach allen Seiten, vgl. dazu z.B. [4]. Daraus ergibt sich, dass zwar alle von der kleineren Kugel K₁ ausgehenden Strahlen die größere Kugel K₂ treffen, wo sie wegen unserer Schwärzungsannahme restlos absorbiert werden, das Umgekehrte aber nicht der Fall ist: Nicht alle von einem Oberflächenelement do der großen Kugel ausgehenden Strahlen treffen die kleine Kugel K₁. Damit ist bereits ohne Diskussion der Details klar, dass die in Abschnitt 1 vorgelegte Strahlungsbilanz fehlerhaft sein muss: Der die kleinere Kugel treffende Strahlungszufluss wurde zu groß angenommen.

Um die Bilanz zu berichtigen, muss jetzt der genaue Strahlungsfluss berücksichtigt werden. Dabei ist überdies zu bedenken, dass der Strahlungsfluss von dem Winkel φ der Strahlrichtung gegenüber der Normalenrichtung abhängig ist (Lambertsches Cosinus-Gesetz): Eine Schrägstellung des Oberflächenelementes gegenüber der Strahlrichtung (Abweichung von φ = 0) vermindert die Strahlleistung, weil das strahlende Flächenelement um den Faktor cos φ verkleinert erscheint.

Zunächst wollen wir den maximalen Winkel α = φ_max bestimmen, für den ein von einem festen Oberflächenelement do auf K₂ ausgehender Strahl gerade noch die kleine Kugel trifft. Betrachtet man das Dreieck, das von Kugelmittelpunkt, Oberflächenpunkt und Berührpunkt des Strahls an K₁ gebildete Dreieck, so ergibt die Elementargeometrie die Gleichung

sin α = R₁/R₂.

Die Strahlung in den durch 0 < φ < α definierten Raumwinkel Ω_α unter Berücksichtigung des Lambertschen Gesetzes ist proportional zu

q_α = ∫_o^α cosφsinφ dφ = ½ sin²α .

Die Strahlung in den gesamten Halb-Raumwinkel 0 < φ < π/2 ergibt sich daraus für α = π/2:

q_π/2 = ½

Es folgt, dass von der gesamten Abstrahlung S₂ der Kugel K₂ nur der Anteil

q_α/q_π/2 S₂ = S₂ sin²α = S₂ (R₁/R₂)²

zur Kugel K₁ gelangt, wo er wegen Annahme einer "schwarzen" Oberfläche total absorbiert wird. Der Rest, also

(1-q_α/q_π/2) S₂

verfehlt die Kugel K₁ und trifft auf die Kugel K₂, wo er gleichfalls von der "schwarzen" Oberfläche total absorbiert wird.

Die nach Abschnitt 1 von der Außenkugel K₂ abgestrahlte Leistung S₂ darf somit nur mit dem Anteil S₂ (R₁/R₂)² in der Leistungsbilanz berücksichtigt werden:

S₂ (R₁/R₂)² = σ/2 T₂⁴ 4πR₂² (R₁/R₂)²= C R₁² T₂⁴

Die berichtigte Leistungsbilanz der Außenkugel K₂ lautet demnach

(Zufluss - Abfluss)₂ = C [R₁² T₁⁴ - (R₁/R₂)²R₂² T₂⁴] = C R₁² [T₁⁴ -T₂⁴] > 0,

während die Bilanz der Innenkugel ergibt:

(Zufluss - Abfluss)₁ = C [(R₁/R₂)²R₂² T₂⁴ - R₁² T₁⁴] = C R₁² [T₂⁴ - T₁⁴] < 0.

Wie vom 2. Hauptsatz vorausgesagt und entgegen der Bauer-Meylschen Behauptung, erhält also

- die kältere Kugel K₂ von der wärmeren Kugel K₁ per Strahlung einen Energiezuwachs, d.h. sie wird wärmer,

- und der wärmeren Kugel K₁ wird genau dieser Energiebetrag durch Abstrahlung entzogen, sie kühlt sich ab.

Der Leser wird der Aussage zustimmen, dass zur Klärung dieses Sachverhalts, zur Bestätigung des 2. Hauptsatzes, nur Schulmathematik und die Kenntnis einiger einfacher experimentell gewonnener physikalischer Fakten über Strahlung erforderlich war.

3. Was wäre...

3.1 ... wenn man die Flächen deformierte?

Der Gedanke liegt nahe, den Wärmefluss von der kälteren zur wärmeren Kugel durch Deformation der Oberflächen zu vergrößern. Während die bisher vorhandene Kugelsymmetrie auf den beiden Kugelflächen einheitliche Temperatur bewirkte, könnte diese vereinfachende Eigenschaft durch Flächendeformation verloren gehen. Aber durch die Zusatz-Annahme, dass beide Oberflächen aus ideal wärmeleitendem Material bestehen sollen, kann man auch weiterhin von einheitlichen Temperaturen auf beiden Flächen ausgehen. Eine weitere Vereinfachung ergibt sich durch die Annahme, dass jeder von der Innenfläche K₁ ausgehende Strahl die Außenfläche K₂ trifft, ohne zuvor noch einmal auf die Fläche K₁ zu treffen. Dies bedeutet, dass die Fläche K₁ bezüglich jeder ihrer Tangentialebenen nur auf einer Seite liegen darf. Diese Bedingung ist genau dann erfüllt, wenn die Fläche K₁ zusammen mit ihrem Innern einen konvexen Körper bildet, d.h. überall nach außen gewölbt ist.

Das Oberflächenelement do₁ der Fläche K₁ strahlt unter dem Winkel φ₁ (0 < φ₁ < π/2) gegen die Flächennormale n₁ nach dem Lambertschen Cosinus-Gesetz in den Raumwinkel dω₁ die Leistung

dL₁ dω₁ = σ/π T₁⁴ cosφ₁ do₁ dω₁

ab. Die gesamte von do₁ ausgehende Strahlung geht in den Halbraum 0 < φ < π/2, kann also durch Integration bezüglich dω₁ über diesen Halbraum ermittelt werden. Wegen der Konstanz der übrigen Faktoren ist somit das Integral ∫_0<φ<π/2 cos φ dω₁ zu ermitteln. Stellt man sich die Raumwinkel dω₁ als Oberflächenelemente der Einheitskugel vor, so werden hier gerade die senkrecht auf die Basisfläche projizierten Oberflächenelemente der halben Einheitskugel aufintegriert, d.h. das Integral hat den Wert des Inhalts dieser Basisfläche, des Einheitskreises, also den Wert π. Dem Leser wird empfohlen, dieses Resultat noch einmal durch Rechnung zu bestätigen (mit dem Oberflächenelement der Einheitskugel dω₁ = sin φ dφ dλ, 0<λ<2π, 0<φ<π/2). Daher erhält man

∫_Ω(do1) cos φ₂ dL₁/r² ^. do₁ = σ/π T₂⁴ do₁ ^. ∫_Ω(do1) cos φ₁ dω₂ = σ/π T₂⁴ do₁ ^. 2π ^. ½ = σ T₂⁴ do₁ .

Die Integration über die Oberfläche K₁ liefert somit als gesamte von K₁ nach K₂ fließende Strahlungsleistung

L₁₂ = σ T₁⁴ |K₁|.

Die Berechnung der von K₂ nach K₁ fließenden Strahlungsleistung ergibt, weil nur die Strahlrichtung umzukehren ist, der Ausgangspunkt auf K₂ jetzt aber die Temperatur T₂ trägt, analog

L₂₁ = σ T₂⁴ |K₁|.

Als Ergebnis erhalten wir, dass die Strahlungsbilanz von Abschnitt 2 durch Flächendeformation nicht beeinflusst werden kann.

3.2 ... wenn man graue statt schwarzer Flächen verwendete?

Wir wollen jetzt annehmen, dass die verwendeten Flächen nicht mehr alle einfallende Strahlung absorbieren, sondern nur noch den Anteil q, wobei q irgendeine feste Zahl zwischen 0 und 1 sein darf. Der nicht absorbierte Anteil r = 1-q soll, das ist eine weitere Annahme, diffus reflektiert werden, soll heißen, die reflektierte Strahlung möge dem Lambertschen Cosinus-Gesetz genügen. Das ist keineswegs selbstverständlich: Blanke Flächen reflektieren gerichtet.

Eine wichtige experimentelle Tatsache ist, dass von unserer Annahme eines Absorptionsvermögens q < 1 auch das Emissionsvermögen beeinflusst wird: Auch die nach dem Stefan-Boltzmannschen Gesetz emittierte Wärmestrahlung ist bei einem q-grauen Körper um den Faktor q vermindert (Kirchhoffsches Gesetz).

Haben die im vorigen Unterabschnitt verwendeten Körper die Absorptionskoeffizienten q₁ und q₂, so sind die von den Körpern emittierten Strahlungen jetzt gegeben durch

L₁₂ = q₁ σ T₁⁴ |K₁| und L₂₁ = q₂ σ T₂⁴ |K₁|.

Wieder entsteht natürlich die spannende Frage, ob mit Hilfe der jetzt zusätzlich verfügbaren Parameter q₁ und q₂ der 2. Hauptsatz verletzt werden könnte. Infolge der hier auftretenden diffusen partiellen Reflektion ist der gesamte Strahlungsprozess erheblich komplizierter.

Wir betrachten eine Einheit der von K₁ emittierte Strahlung, halten in der nachfolgenden Tabelle den jeweiligen Anteil fest, der bei der mehrfachen Reflektion auf den beiden Flächen absorbiert wird:

absorbiert auf K1	emittiert / reflektiert	absorbiert auf K2
---	1	---
---	r2	q2
q1 r2	r1 r2	---
---	r1 r2^2	^.r1 r2 q2
q1 r1^2 r2	r1^2 r2^2	---
---	r1^2 r2^3	r1^2 r2^2 q2
...	...	...

Man erkennt, dass die sukzessive absorbierten Strahlungsanteile in der rechten Spalte eine geometrische Reihe mit der Summe q₂(1- r₁ r₂)^-1 bilden. Daher absorbiert K₂ von der von K₁ abgestrahlten Leistung L₁₂ = q₁ σ T₁⁴ |K₁| den Anteil

L'₁₂ = σ T₁⁴ |K₁| q₁q₂(1- r₁ r₂)^-1,

während der Rest (linke Spalte) von K₁ re-absorbiert wird. Der Leser möge sich davon selbst überzeugen, indem er die in der linken Spalte stehende geometrische Reihe summiert.

Die analoge Tabelle für die von K₂ emittierte und von K₁ sukzessive absorbierte Leistung ergibt

L'₂₁ = σ T₂⁴ |K₁| q₁q₂(1- r₁ r₂)^-1.

Somit wird bei Vorhandensein grauer Flächen mit diffuser Reflektion die in beiden Richtungen transportierte Leistung um den gleichen Faktor q₁q₂(1- r₁ r₂)^-1 reduziert, d.h. die Verwendung grauer Flächen an Stelle der ursprünglichen schwarzen Flächen ändert nichts an dem Leistungsfluss von der wärmeren zur kälteren Fläche, egal wie man die Grauwerte beider Flächen wählt.

Wir bemerken zum Abschluss, dass das erzielte Ergebnis, der Leistungsfluss von der wärmeren zur kälteren Fläche, allein auf Grund experimenteller Fakten, nämlich des Stefan-Boltzmannschen Gesetzes und des Kirchhoffschen Gesetzes, erzielt wurde. Auf den 2. Hauptsatz wurde nicht Bezug genommen, er stellt vielmehr für den vorliegenden Spezialfall das Ergebnis dar.

Literatur

[1] W. M. Bauer, Die Welt der Wirbel und Atome Bd. 2, Abschnitt Postmoderne Physik, ca. 1980, fast am Ende des Buches, s. auch

http://www2.mathematik.tu-darmstadt.de/~bruhn/2_KUGEL.HTM

[2] K. Meyl, Elektromagnetische Umweltverträglichkeit Teil 2, 2. Auflage 1999, S.43

[3] H. Müller, Technische Thermodynamik, Zentrum für Energie und Umwelttechnik e.V., Wismar 2000

[4] W. Demtröder, Experimentalphysik 2, Springer 1995, Kap. 12

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