In seinem Hauptwerk "Philosphiae Naturalis Prinzipia Mathematica" hatte Isaac Newton u.a. auch versucht, das zweite Keplersche Gesetz, d.h. den Flächensatz im Rahmen von geometrischer Überlegungen, d.h. von der Theorie her ableiten zu wollen. Dabei war ihm allerdings ein Fehler unterlaufen, weil ein physikalisches Phänomen wie der Flächensatz mit geometrischen Überlegungen nicht abgeleitet werden kann. Wenn man dann allerdings die vorhandene Thematik etwas eingehender untersucht, dann stellt man fest, daß dieser Flächensatz sehr leicht auf energetischem Wege am Beispiel des berühmten Pirouetteneffektes eines Eiskunstläufers ableitbar erscheint, indem zu der bereits vorhandenen kinetischen Rotationsenergie eines Eiskunstläufers die gegen die vorhandenen Fliehkräfte gerichtete Zentrifugalarbeit beim Heranziehen der Arme noch hinzuaddiert wird, was im Rahmen einer Integration zu dem bekannten Drehimpulserhaltungssatz führt. Nun, dieses kleine Mißgeschick von Isaac Newton wäre eigentlich nicht weiter tragisch gewesen, wenn nicht gelegentlich Situationen auftreten würden, bei welchen ein derartiger Drehimpuls nicht erhalten bleibt, so z.B. beim Loslassen des Hammers eines Hammerwerfers. Dabei verschwinden nämlich spontan die an dem Hammer auftretenden Fliehkräfte, so daß die zu leistende Zentrifugalarbeit nicht mehr zu berücksichtigen ist. Über das losgelassene Seil können nämlich keine Kräfte mehr auf den davonfliegenden Hammer übertragen werden. Alles was beim Loslassen des Hammers erhalten bleibt, ist somit die kinetische Energie des Systems, indem der Hammer mit konstanter Geschwindigkeit davonfliegt, wobei sich allerdings der Krümmungsradius der Bahn und damit der Drehimpuls des Systems verändert, während gleichzeitig sprunghaft ein zuvor nicht vorhandener translatorischer Impuls auftritt.
Anhand dieses
Beispiels ist sehr wohl erkennbar, daß hier in diesem Fall weder der
translatorische Impuls noch der Drehimpuls erhalten bleiben.
Der Hammer wird
durch einen Massenpunkt der Masse m realisiert, der für t<0, von einem (masselosen) Seil der Länge
r gehalten, das Zentrum x0
= 0 umkreist: Die Kreisbahnbewegung der Kreisfrequenz ω wird für
t<0 beschrieben durch
x(t) = r (cos
ω t, sin ω t, 0),
woraus man Bahngeschwindigkeit und Bahnbeschleunigung durch Differentiation nach t erhalten kann:
x·(t) = ω r (− sin ω t, cos ω t, 0) und x.. (t) = − ω2 r (cos ω t, sin ω
t,
0).
Insbesondere ergibt sich für den Augenblick t=0
des Loslassens die Bahngeschwindigkeit
x.(0) = ω
r
(0, 1, 0),
d.h. der Hammer fliegt mit der
Geschwindigkeit v = ω r geradlinig
und tangential zu der vorherigen Kreisbahn in Richtung der zweiten
Koordinatenachse davon (ohne Schwerkraft). Das ergibt für t>0 die Bahn
x(t) = (r, vt, 0),
durchlaufen mit
dem Geschwindigkeitsvektor x.(t) = ω r (0, 1, 0).
Da Ort und Geschwindigkeit für alle t
bekannt sind, kann man den Drehimpuls
p(t) = m x(t) × x.(t)
längs der gesamten Bahn leicht ausrechnen.
Man erhält für alle t<0
p(t)
= m r(cos
ω t, sin ω t, 0) × ω r (−sin
ω t, cos ω t, 0)
= m ω r2 (0,0,1),
und für alle t>0
p(t)
= m (r, vt, 0) × ωr (0, 1, 0)
= m ω r2 (0,0,1).
Es verbleibt, den translatorischen Impuls zu
berechnen:
Der translatorische Impuls genügt dem Impulssatz
Die zeitliche Ableitung des Impulses ist gleich der
wirksamen Kraft.
Da während der Kreisbewegung (t<0) durch das Seil eine Kraft auf den Hammer
ausgeübt wird, kann der Impuls nicht konstant bleiben.
Wir haben den Impuls
j(t) = m x.(t) = m ω r (− sin ωt, cos ωt, 0)
mit der Zeitableitung
dj(t)/dt = m x..(t)
= − m ω2 r
(cos ωt, sin ωt, 0).
Hier steht rechts gerade die im Seil zur Kompensation
der Fliehkraft wirksame Zugkraft, die von dem Hammerwerfer aufzubringen ist.
Von einer (angeblich behaupteten) Impulserhaltung ist
in der Physik nicht die Rede.
Impulserhaltung gilt nur bei
Abwesenheit von Kräften.
Dies ist erst nach Loslassen des Hammers der Fall.
Offensichtlich hat Herr Bourbaki keine präzise
Vorstellung von der Aussage des Newtonschen Impulssatzes.