## The Maxwell-Lodge effect: significance of electromagnetic potentials in the classical theory

### Gerhard W. Bruhn, Darmstadt University of Technology

Oct 8, 2008
updated Nov 13, 2008

The authors write in their Abstract:

The Aharonov-Bohm effect has been the starting point of the reconsideration of the reality of the vector potential within quantum physics. We argue that the Maxwell-Lodge effect is its classical equivalent: what is the origin of the electromotive force induced in a coil surrounding a (finite) solenoid fed by an alternative current? We demonstrate theoretically, experimentally and numerically that the effect can be understood using the vector potential while it cannot using only the fields,
see the Appendix below in addition.

This statement, that the effect described by means of the vector potential A cannot be described by means of the fields only, is definitively wrong.

The effect to be measured is the electromotive force that is induced in an outside measurement coil by a time dependent magnetic flux field B.

Let us assume first that the coil is one single loop ∂Ω around the central solenoid, and let Ω be a check-surface with boundary ∂Ω. Then Faraday's induction law in its integral version yields the induced electromotive force (in SI units)

(*)         U = ∫∂Ω E · dx = ∫∫Ω (Ñ×E) · do = − ∫∫Ω Bt · do = − d/dt ∫∫Ω B · do .

Let secondly the coil consist of n bends. Then the coil can equivalently be replaced with n closed loops ∂Ω1, . . . , ∂Ωn each of which border of a corresponding check-surface Ω1, . . . , Ωn Then we have slightly more general

U = U1 + . . . + Un         where         Uk = − d/dt ∫∫Ωk B · do         (k=1,...,n) .

This shows that the induced electromotive force is given by the sum of the time derivatives of the B-fluxes through the check-surfaces Ωk.

### This is a representation of the induced electromotive force U by the field vector B alone. No vector potential is needed for that representation.

Concrete examples (B,E) of the validity of eq. (*) can be found in

### References

[1] G. Rousseaux, R. Kofman, and O. Minazzoli,The Maxwell-Lodge effect:
significance of electromagnetic potentials in the classical theory
,
Eur. Phys. J. D (2008), Vol.49, p.249-256

[2] J.D. Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd ed., John Wiley & Sons (1999)

## Champ magnétique et Potentiel vecteur créés par un Solénoïde

#### Minazzoli Olivier.

Rapport de stage au LPMC (Laboratoire de Physique de la Matière Condensée) à l'université de Nice Sophia-Antipolis.
Directeur de stage : Professeur Richard Kofman.
Initiateur du stage : Docteur Germain Rousseaux.

#### Introduction

Le but de ce papier est la discussion sur la réalité du potentiel vecteur par rapport à celle du champ magnétique. En effet, le champ magnétique nous est présenté dans les manuels scolaires comme un champ réel alors que le potentiel vecteur nous est présenté comme un outil mathématique permettant le calcul du champ magnétique et, du fait, il nous semble alors que le potentiel vecteur n'a aucune réalité intrinsèque. Ce point de vue, qui a été développé principalement par Heaviside et Hertz à la fin du XIX° siècle, est celui couramment admis par les physiciens actuels. Cependant, certains physiciens tels que Thomson ou Maxwell avaient une vision différente du potentiel vecteur en lui accordant une réalité physique. Pour eux, le potentiel vecteur est une quantité de mouvement par unité de charge tel que pour que la quantité de mouvement p soit conservée, il faut que p = m v + q A où A, le potentiel vecteur, est définit dans les conditions appropriées. Au-delà de cette signification physique donnée au potentiel vecteur, nous devons nous attacher à définir le concept de réalité. Ainsi, selon Feynman [1], la notion de réalité découle directement d'une autre notion : celle d'action à distance. Pour lui, un champ réel est un objet mathématique que l'on utilise pour éviter la notion d'action à distance. Ainsi, un champ dit 'réel' ne peut avoir d'influence sur un objet hors de la région où il existe. En effet, comment l'objet peut-il 'savoir' qu'il y a un champ s'il ne se trouve pas dans ce champ? L'effet Aharanov - Bohm permet de montrer que le champ magnétique créé à l'intérieur d'un solénoïde influe sur un électron à l'extérieur de ce solénoïde, là où le champ magnétique est nul. Ceci est en contradiction avec la notion de réalité proposé par Feynman. Ainsi, le champ réel serait le potentiel vecteur, puisqu'il est non nul à l'extérieur du solénoïde et qu'il porte l'information du champ magnétique à l'intérieur du solénoïde (B = rot A). On éviterait ainsi d'avoir recours à cette notion 'délicate', voir 'peu physique', d'action à distance.

Aussi, l'effet Maxwell - Lodge, qui permet de voir un courant induit dans une spire à l'extérieur d'un solénoïde dans lequel circule un courant alternatif, ne peut s'expliquer avec le champ magnétique qui est nul là où se trouve la spire.

Cependant, la 'nullité' du champ magnétique à l'extérieur du solénoïde est approximative puisque l'on ne considère pas les effets de bords (nous appellerons 'effets de bords' tous les effets contribuant à créer un champ magnétique à l'extérieur du solénoïde). Ainsi, nous proposons de simuler un solénoïde permettant de quantifier ces effets de bords. Afin d'être sur de la validité de la simulation, nous la testerons avec une série de calculs théoriques et de résultats expérimentaux. Le choix de la simulation est principalement simulation est principalement dû au fait que les appareils de mesures dont nous disposions ne permettaient pas d'avoir la précision permettant la discussion que nous souhaitons avoir.

Enfin, nous discuterons des implications des résultats obtenus au travers de l’effet Maxwell – Lodge qui, selon nous, ne peut s’expliquer qu’en terme de potentiel vecteur.

Ce n'est pas vrai. Voilà cette représentation du voltage induit U
par le champ magnétique B exclusivement:

(*)         U = ∫∂Ω E · dx = ∫∫Ω (Ñ×E) · do = − ∫∫Ω Bt · do = − d/dt ∫∫Ω B · do .

Parce que le voltage induit U est représentable comme une intégrale de Bt, cette intégrale des ''effets de bords'' Bt n'est pas une quantité négligeable: En cas d'un courant alternatif nous avons B = Bo e−iωt et pour cela Bt = −iω Bo e−iωt, c.-à.-d. l' ''effet de bord'' B n' a pas une dérivation du même ordre de grandeur a cause du facteur ω, qui est variable de 50 Hz (courant alternatif normal) à 109 Hz en cas de TV fréquences.

Pour cela c' est une erreur grave de considérer Bt comme un ''effet de bords''.
La derivation Bt = − iω Bo e−iωt n' est pas du tout nul là où se trouve la spire.

Spécialement cet exemple n' est appropriée peu pour discuter des questions d'action à distance: Les equations de Maxwell pour les effets électromagnétiques sont un exemple important pour des effets locals. Cependant, certains effets peuvent être formulés également comme des effets à distance si une théorème intégrale appropriée (de Gauss ou Stokes) est applicable.

### Translation

. . .
In addition, the Maxwell-Lodge effect which describes a current induced in a bend outside an AC-driven solenoid, that cannot be understood by a magnetic field which is vanishing just at the place of the bend.

However, the vanishing of the magnetic field outside the solenoid is an approximation since one does not consider border effects (we call 'border effects' all effects that contribute to a magnetic field outside the solenoid).
. . .
the Maxwell-Lodge effect which, in our opinion, cannot be explained without using the vector potential.

This is not true. See the following representation of the induced voltage U by the magnetic field B exclusively:

(*)         U = ∫∂Ω E · dx = ∫∫Ω (Ñ×E) · do = − ∫∫Ω Bt · do = − d/dt ∫∫Ω B · do .

Since the induced voltage U can be represented by an integral over Bt, this integral over ''border effets'' Bt is no quantité négligeable: In case of an alternating current we have B = Bo e−iωt and hence Bt = −iω Bo e−iωt, i.e. the ''border effect'' B does not have a derivative of the same order of magnitude due to the factor ω which e.g. varies between 50 Hz of usual AC and 109 Hz in case of TV frequencies.

Therefore it is a serious error to consider Bt as a ''border effect''.
The derivative Bt = − iω Bo e−iωt is not at all zero at the place of the bend.

Especially this example is not appropriate for discussing questions of action at distance: The Maxwell equations of electrodynamics are an excellent example of local effects. However, certain effects can be reformulated as well as effects at distance if an appropriate integral theorem (by Gauss or Stokes) is applicable.