Widerlegung einer Behauptung von E. Friebe und K. Meyl

von Gerhard W. Bruhn, Fachbereich Mathematik der TU Darmstadt

K. Meyl [2] wie schon vor ihm E. Friebe [1] vertreten die Ansicht, die bei R.W. Pohl [3] gefundenen Gleichungen

(1)                                                       H = ε_o E × u

(2)                                                       E = μ_o u × H

seien die eigentlichen Grundgleichungen der Elektrodynamik an Stelle der Maxwell-Gleichungen

(3)                                                       ε_o  E_t  =    rot H

            (4)                                                       μ_o  H_t = - rot E

Sie behaupten weiter, dass sich aus den Friebe-Meyl-Gleichungen (1),(2) die Maxwell-Gleichungen "durch Rotor-Operation" herleiten ließen. E. Friebe wie K. Meyl versuchen sich sogar an einem - allerdings fehlerhaften - Beweis (s. [2] und [4], (16)-(17)) s. Zusatz unten.

Demgegenüber wird hier gezeigt:

1) Die Friebe-Meyl-Gleichungen (1),(2) sind als Grundgleichungen der Elektrodynamik untauglich, weil sie

a) nicht dem Superpositionsprinzip der EM-Wellen genügen,

b) es eine Vielzahl von Maxwell-Lösungen gibt, die den Friebe-Meyl-Gleichungen nicht genügen, z.B. alle stehenden Wellen.

2) Umgekehrt besitzen die Friebe-Meyl-Gleichungen (1),(2) viele Lösungen, die den Maxwell-Gleichungen nicht genügen. Daher können die Maxwell-Gleichungen weder "durch Rotorbildung" noch auf andere Weise aus den Gleichungen (1),(2) hergeleitet werden.

Vorbemerkung . Für die Verwendung der Gleichungen (1),(2) gibt es eine notwendige Bedingung: Es muss

(5)                                           |u| = c  mit der Abkürzung c = (ε_oμ_o)^–1/2

gewählt werden. Denn eliminiert man mit (1) die Größe H in (2), so folgt

E = ε_oμ_o u × (E × u).

Die Anwendung der Auflösungsregel für das doppelte Vektorprodukt

a × (b × c) = (a ^. c) b – (a ^. b) c

liefert

E = ε_oμ_o |u|² E,

was für E ≠ 0 die Bedingung (5) nach sich zieht. Analog kann im Fall H ≠ 0 verfahren, indem man E eliminiert.

K. Meyl ist in [2] die Notwendigkeit der Bedingung (5) entgangen. Er glaubt irrtümlich, über |u| frei verfügen zu können.

Beweis Teil 1. Gegen (1),(2) als Grundgleichungen ist sofort einzuwenden, dass sie im Gegensatz zu den Maxwell-Gleichungen (3),(4) das Superpositionsprinzip der elektromagnetischen Wellen nicht erfüllen. So ist zwar mit beliebigem konstantem E_o senkrecht auf u durch

E⁺ = E_o exp(i u ^. (x + ut) 2π / cλ),      H⁺ = ε_o E_o × u exp(i u ^. (x + ut) 2π / cλ)

eine ebene elektromagnetische Welle der Wellenlänge λ gegeben, die sich mit der Geschwindigkeit -u durch den Raum bewegt und die Gleichungen (1),(2) erfüllt. Doch schon die gegenläufige elektromagnetische Welle

  E^- = E_o exp(-i u ^. (x - ut) 2π / cλ),      H^- = - ε_o E_o × u exp(-i u ^. (x - ut) 2π / cλ)

erfüllt die Gleichungen (1),(2) nicht mehr, oder nur noch, wenn man dort zuvor u durch -u ersetzt. Beide Wellen erfüllen aber die Maxwell-Gleichungen (3),(4). Der Leser möge all dies durch Nachrechnen überprüfen. Hoffnungslos wird aber die Situation für (1),(2), wenn man die Überlagerung der beiden gegenläufigen Wellen, die stehende Welle

E = E⁺+E^-,            H = H⁺+H^-

betrachtet. Diese Welle erfüllt immer noch die Maxwell-Gleichungen (3),(4), für keine Wahl von u jedoch die Gleichungen (1),(2).

Beweis Teil 2. Eine Herleitung der Maxwell-Gleichungen aus den Friebe-Meyl-Gleichungen "durch Rotor-Operation" erfordert neben (5) die von K. Meyl und E. Friebe nicht geforderte Zusatzvoraussetzung, dass E und H allein von der Kombination x+ut  abhängen. Dies bedeutet anschaulich die Annahme, dass die durch E,H gegebene "Welle" sich mit der Geschwindigkeit -u durch den Raum bewegt.

Ohne diese Zusatzvoraussetzung ist eine Herleitung unmöglich, weil die Gleichungen (1),(2) dann Lösungen besitzen, die nicht Lösungen der Maxwell-Gleichungen (3),(4) sind:

Der Vektor u wird speziell in Richtung e₁ der ersten Koordinatenachse gewählt, u = c e₁, ferner H = H₂ e₂ mit beliebiger skalarer Funktion H₂ und E gemäß (2) als E = μ_o u × H, somit

E = μ_o c e₁ × H₂ e₂ = μ_o c H₂ e₃ .

Der Leser möge sich durch Nachrechnen davon überzeugen, dass unsere Wahl

(6)                                           E = μ_o c H₂ e₃ ,  H = H₂ e₂

bei willkürlich wählbarer Funktion H₂ wirklich immer eine Lösung von (1),(2) liefert.

Zu der angekündigten Konstruktion von Nicht-Lösungen der Maxwell-Gleichungen verfügen wir jetzt in (6) über die Funktion H₂, wobei wir einen aus Dimensionsgründen eigentlich erforderlichen Maßstabsfaktor der Einfachheit halber unterdrücken:

Wahl 1            H₂ = t, daher E = μ_o c t e₃ ,  H = t e₂

Man sieht, dass E_t = μ_o c e₃, also ε_o E_t = c^-1 e₃ ≠ 0 herauskommt, aber offenbar rot H = 0 wegen Ortsunabhängigkeit von H. Die erste Maxwell-Gleichung wird demnach von unserer Wahl 1 verletzt.

Wahl 2            H₂ = x₁, daher E = μ_o c x₁e₃ ,  H = x₁ e₂.

Offenbar ist jetzt E_t = 0 wegen Zeitunabhängigkeit von E, aber rot H = e₃ ≠ 0. Wiederum ist schon die erste Maxwell-Gleichung bei unserer Wahl 2 verletzt.

In dieser Weise lassen sich viele weitere Beispiele konstruieren, welche die Friebe-Meyl-Gleichungen (1),(2), nicht aber die Maxwell-Gleichungen (3),(4) erfüllen.

Quellen

[1]       E. Friebe, Die Vektorprodukte der MAXWELL’schen Elektrodynamik (Teil A)

http://ourworld.compuserve.com/homepages/Ekkehard_Friebe/MAXWEL-A.htm

[2]       K. Meyl, Skalarwellen I, NET-Journal 2002/7-8, s. auch in

http://www2.mathematik.tu-darmstadt.de/~bruhn/NJ-Orig.htm

[3]       R.W. Pohl,  Elektrizitätslehre,  Springer Verlag,  20. Auflage (1967)