K. Meyls Fundamentale Feldgleichung

von Gerhard W. Bruhn, Fachbereich Mathematik der TU Darmstadt

1. Quellen

Die Fundamentale Feldgleichung wurde von K. Meyl in seinen Büchern

[1] K. Meyl, Potentialwirbel Band 1, Indel-Verlag 1990, S. 58-97.

[2] K. Meyl, Potentialwirbel Band 2, Indel-Verlag 1992, S. 15 ff.

[3] K. Meyl, Elektromagnetische Umweltverträglichkeit Bd.1, Indel-Verl. 1997, S. 41, 76-94

aufgestellt. Im folgenden werden Formeln aus diesen Texten oder dem Literaturverzeichnis durch Voranstellen der Text-Nr. vor die Gleichungs-Nummer des jeweiligen Textes zitiert. Es bedeutet also z.B. (2.10) die Formel (10) in [2].

K. Meyl [3] fühlt sich durch die fehlende Symmetrie der Maxwell-Gleichungen veranlasst, diese zu "dualisieren", d.h. er fügt in Gleichung (3.12) (s.u.) rechts gegenüber dem Standard-Vorgehen einen Term −b als Analogon zu j in (3.11) ein, und er postuliert als Analogon zum Ohmschen Gesetz (3.9) eine lineare Beziehung (2.10) zwischen b und H. γ heißt Spezifischer Widerstand eines Materials. (Um Verwechslungen mit der Standard-Bezeichnung der Ladungsdichte ρ zu vermeiden, wird hier das Zeichen γ an Stelle des von Meyl verwendeten ρ benutzt.) In Anwendungen ist stets γ>0, der Fall γ = ∞ ist der eines Nichtleiters. Da jedes Material einen elektrischen Widerstand aufweist (wenn man von Supraleitung absieht), kommt der Fall γ=0 praktisch nicht vor. Aus Analogiegründen ist 0<κ<∞ anzunehmen. (Die Fälle γ=0 und/oder κ=0 würden Sonderbetrachtungen erfordern, die Meyl aber nicht anstellt.) Alle Koeffizienten μ, ε, γ, κ werden als konstant vorausgesetzt, ferner sei D_t die Zeitableitung:

(3.3) div B = 0 (3.7) div D = 0

(3.5) B = μ H (3.6) D = ε E

(3.11) rot H = j + D_t D (3.12) rot E = −b − D_t B

Ohmsches Gesetz und sein Analogon

(3.9) j = E/γ (2.10) b = H/κ

ergibt zunächst mit λ₁ = ¹/_εγ > 0, λ₂ = ¹/_μκ > 0 und c² = ¹/_εμ über die Zwischenrechnung

(9') j = ελ₁E (10') b = μλ₂H

(3.11*) rot H = ε(λ₁ + D_t)E (3.12*) rot E = -μ(λ₂ + D_t)H

durch Rotationsbildung das Ergebnis

(3.13*) − rot rot E = ελ (λ₁ + D_t) (λ₂ + D_t) E

Wegen Δ E = grad div E − rot rot E und der aus (3.6-7) folgenden Gleichung

(3.7*) div E = 0

ergibt sich

(3.15) c² Δ E = [λ₁λ₂ + (λ₁ + λ₂) D_t + D_t²] E.

(3.15) gilt für H statt E, und natürlich auch für alle zu beiden Feldern proportionalen Felder B, D, j und b. Dies ist wohl für K. Meyl der Grund, die Gleichung (3.15), auch (2.11), als "Fundamentale Feldgleichung" zu bezeichnen. In [2], S.103, heißt es dazu:

"Wenn es überhaupt eine Weltformel gibt, wie sie von Goethe, von Heisenberg u.a. vergeblich gesucht worden war, so erscheint es naheliegend - man verzeihe dabei dem Schöpfer der Gleichung seine innere Überzeugung - , dass es sich bei der fundamentalen Feldgleichung um die gesuchte Weltformel handeln könnte."

In [2], S.16 und [3], S.79, bemerkt der Schöpfer von (2.11)/(3.15):

"Die fundamentale Feldgleichung 11 setzt sich aus drei verschiedenartigen Typen von partiellen Differentialgleichungen zusammen: einer hyperbolischen ..., einer parabolischen ... und einer elliptischen ... ."

Man fragt sich, warum in Nachschlagewerken wie [5], S.410 ff., die verschiedenen Typen wohl getrennt und mit unterschiedlichen, typabhängigen Methoden behandelt werden.

2. Gibt es Skalarwellen-Lösungen der Fundamentalen Feldgleichung?

Die von K. Meyl postulierten Skalarwellen sind nach Bild 2 von [9] Longitudinalwellen, gekennzeichnet durch die Bedingung

(9. Bild 2) rot E = 0.

Geht man konsequenterweise davon aus, dass Skalarwellen auch den Ursprungsgleichungen der Fundamentalen Feldgleichung, d.h. den erweiterten Maxwellgleichungen des vorigen Abschnitts, genügen, so muss für Skalarwellen die Gleichung (3.13*) von Abschnitt 1 zusammen mit rot E = 0 erfüllt sein, oder auch die Fundamentalen Feldgleichung (3.15) zusammen mit (3.6-7). Damit vereinfachen sich die Meylschen Gleichungen (3.13*) und (3.15) zu

(*) (λ₁ + D_t) (λ₂ + D_t)E = 0.

Bemerkenswerterweise benötigt man zur Herleitung dieser Gleichung die Bedingung (3.7*) nicht. Das ist wichtig, weil K. Meyl sich zwischen der homogenen Version (3.7*) und der inhomogenen Version div E ≠ 0 in Bild 2 von [9] nicht entscheiden mag.

Die allgemeine Lösung der (gewöhnlichen) Differentialgleichung (*) lautet

(**a) E(x,t) = E₁(x) e^{-λ1 t} + E₂(x) e^{-λ2 t} für λ₁ ≠ λ₂

bzw.

(**b) E(x,t) = [E₁(x) + t E₂(x)] e^{-λ1 t} für λ₁= λ₂

mit frei wählbaren vektorischen Koeffizienten E₁(x) und E₂(x). Weil die Eigenwerte der Differentialgleichung (*), nämlich −λ₁ und −λ₂, beide reell sind, kann ein Wellen- oder Schwingungsvorgang daraus nicht entstehen, wie immer man die Koeffizienten in (**) auch wählt:

Skalarwellen sind als Lösung der Fundamentalen Feldgleichung nicht möglich.

3. Mathematische Klassifikation der Fundamentalen Feldgleichung

Die Zerlegbarkeit der in (3.15) rechts stehenden [...] begründet die Zugehörigkeit von (3.15) zu einer Klasse von hyperbolischen Differentialgleichungen, die in der Literatur auch unter dem Sammelnamen Telegraphen-Gleichung geführt werden, s. z.B. [5], S.419. Wir können (3.15) umschreiben in

(1) c² Δ E = (D_t + λ₁) (D_t + λ₂) E mit λ_k> 0.

Macht man hier die umkehrbare Exponential-Transformation

(2) Ψ = e^λt E, E = e^−λt Ψ (mit λ = const),

so folgt mit Hilfe von

D_t Φ = e^−λt (D_t − λ)(e^λt Φ)

die Transformationsformel

(D_t + λ₁) (D_t + λ₂) E = (D_t + λ₁) [e^−λt (D_t + λ₂ − λ)Ψ] = e^−λt (D_t + λ₁ − λ) (D_t + λ₂ − λ) Ψ

Damit geht (3.15) bzw. (1) über in die Gleichung

(3) c² Δ Ψ = (D_t + λ₁ − λ) (D_t + λ₂ − λ)Ψ

Für λ = λ₂ erhält man mit λ₀ = λ₁ − λ₂

(4) c² ΔΨ = (D_t + λ₀)D_t Ψ.

Diese Gleichung kann durch Maßstabsänderungen auf die Standard-Form

(4.83) Δ u = D_t²u +D_t u

gebracht werden. (In Formel (4.83) liegt im Original, wie sich aus dem Kontext ergibt, ein Druckfehler vor: Statt " ... + u " muss es heißen " ... + u_t " .). Die Gleichung (4.83) wird in [4] (von 1937) mittels einer Exponential-Transformation vom Typ (2) auf die Gleichung

(4.76) Δ u = D_t²u − γ²u, γ > 0,

zurückgeführt, die in heute üblicher Terminologie als (die einfachste Form der) Klein-Gordon-Gleichung bezeichnet wird.

Wir halten fest:

Satz Die Lösungsgesamtheit der Gleichung (3.15) entsteht aus der Lösungsgesamtheit der Telegraphen-Gleichung (4) durch Multiplikation mit der Exponentialfunktion e^{-λ2 t}. Die Meylsche Fundamentale Feldgleichung ist also nichts anderes als eine einfache Transformierte der Telegraphen-Gleichung (4.83) oder auch der Klein-Gordon-Gleichung (4.76).

Meyl erwähnt die oben angegebenen Zusammenhänge nicht. Er wählt in (2) direkt

λ = (λ₁+λ₂)/2.

Dann liefert (3) mit δ = (λ₁−λ₂)/2

(3.30) c² Δ Ψ = (D_t + δ) (D_t − δ)Ψ = (D_t ² − δ²)Ψ.

Anzumerken ist, dass sich (3.30) für δ = 0 auf die Wellen-Gleichung reduziert.

4. Lösungsformel für das Anfangswertproblem der Telegraphen-Gleichung

R. Courant gibt in [4], S.408 ff., eine Integralformel für die Lösung u(x,t) des Anfangswertproblems

u(x,0) = 0, u_t(x,0) = φ(x)

der Dgl. Δu + γ²u = u_tt an, die sich mittels der Exponential-Transformation (2) auf die gesamte Klasse der Telegraphengleichung anwenden lässt.

Wie kann man damit das allgemeine Anfangswertproblem

U(x,0) = ψ(x), U_t(x,0) = φ(x)

lösen?

Hilfsatz Sei v eine C³-Lösung der Anfangswertaufgabe (das leistet die Courant-Formel für ψ in C³.)

v(x,0) = 0, v_t(x,0) = ψ(x).

Dann löst U = u + v_t das allgemeine Anfangswertproblem.

Beweis Offensichtlich erfüllt U die lineare Dgl. ΔU + γ²U = U_tt

Für die Anfangswerte ergibt sich

U(x,0) = u(x,0) + v_t(x,0) = 0 + ψ(x) = ψ(x)

und

U_t(x,0) = u_t(x,0) + v_tt(x,0) = φ(x) +(Δv + γ²v)(x,0) = φ(x) + 0 = φ(x).

Bemerkung Die Lösung der obigen Anfangswertaufgabe ist für alle Telegraphen-Gleichungen innerhalb des charakteristischen Konoids über der Anfangsmenge durch die Anfangsvorgaben eindeutig bestimmt. Grund: Die Eindeutigkeit besteht für die spezielle Telegraphen-Gleichung (4). Aber die Eindeutigkeit kann wegen der Umkehrbarkeit der Exponential-Transformation (2) für die anderen Telegraphen-Gleichungen nicht verloren gehen. Weiter ergibt sich daraus, dass die maximale Signalgeschwindigkeit für alle Telegraphen-Gleichungen die Lichtgeschwindigkeit c ist.

Überlichtschnelle Signalausbreitung, wie von K. Meyl im Zusammenhang mit Skalarwellen behauptet [9], ist mit der Telegraphen-Gleichung nicht möglich.

5. Diskussion

1) Zur "Dualisierung": Da es keine magnetischen Monopole gibt, sieht sich Meyl veranlasst, auch die elektrischen Monopole abzuschaffen. Nicht nur lokal, was man natürlich tun kann, indem man sich auf ladungsfreie Bereiche beschränkt. Sondern generell, s. [2], S.7, wo Kugel-Dipole als Ladungsträger (Elektron und Positron) eingeführt werden. Die Konsequenzen sieht man in [3], S.43 (4)-(7), S.47 (7). Das bedeutet mathematisch eine Vereinfachung, physikalisch aber ist dieses Postulat äußerst fragwürdig. Denn damit sind die Erzeuger von elektrischen Feldern abgeschafft, vgl. [7], zumindest aber gibt es keine Coulomb-Felder mehr, denn Dipole können keine Coulomb-Felder erzeugen. Ferner entstehen Ströme durch Bewegung von Ladungen und Stromdichten j durch Bewegung v von Ladungsdichten ρ, j = ρv. Kugel-Dipole können weder Ladungsdichten, noch Ströme oder Stromdichten erzeugen. Konsequenterweise muss also in den Gleichungen (2.7) und (2.9) mit j = 0 gearbeitet werden. Dies zieht in Gleichung (2.9) 1/τ₁ = 0 bzw. λ₁ = 0 in (2.9') nach sich. Wie gesagt, mathematisch angenehme Vereinfachungen, nur physikalisch völlig unrealistisch.

2) Zu den aus Dualitätsgründen vorgenommenen Erweiterungen auf der magnetischen Seite: K. Meyl geht in Übereinstimmung mit der Literatur, s. z.B. [6], davon aus, dass es keine magnetischen Monopole gibt. Konsequenterweise arbeitet er deshalb gemäß (2.2) mit magnetischen Ladungsdichten ρ_magn = div B = 0. Weil aber wie auf der elektrischen Seite (s. 1)) magnetische Stromdichten b nur durch die Bewegung von magnetischen Ladungen (also magnetischen Monopolen) entstehen können, muss man analog zu 1) auf b = ρ_magnv = 0 schließen. Und weiter folgt aus dem Ohm-Analog-Gesetz (2.10) für die magnetische Leitfähigkeit 1/τ₂ = 0 bzw. λ₂ = 0 in (2.10'). Zu diesen Fragen hat sich A. Sommerfeld in [8], S.81, geäußert. Nach einem Hinweis von Entladung von elektrischen Oberflächenladungen an frischen Bruchstücken von Elektreten wie Turmalin durch Entladungsströme innerhalb von Stunden bis Tagen schreibt er:

"Der Unterschied ... besteht nur darin, dass es im magnetischen Fall keinen solchen Leitungsstrom gibt. Ein Stahlmagnet zeigt daher in Jahrzehnten keine nachweisbare Änderung seines Feldes."

Zusammenfassung Während auf der elektrischen Seite die Abschaffung von Ladungen (und Stromdichte sowie Leitfähigkeit) zu unrealistischen Gleichungen führt, ist es auf der magnetischen Seite genau umgekehrt: Die Einführung von magnetischen Stromdichten nebst zugehöriger Leitfähigkeit bedeutet eine unrealistische Komplikation: Die Symmetrie zwischen elektrischer und magnetischer Seite ist nicht herstellbar, wie von vornherein an dem Gegensatz zwischen der Existenz elektrischer und der Nichtexistenz magnetischer Monopole zu erkennen ist. Wenn man will, kann man sich der Mühe dieser Komplikation unterziehen, doch wird sie durch das Experiment nicht gerechtfertigt [6].

3) Wie man sich hinsichtlich 2) auch entscheiden mag, an der Zugehörigkeit der "Fundamentalen Feldgleichung" zur Klasse der Telegraphen-Gleichungen ändert sich dadurch nichts, solange man die Vereinfachungen in 1) beibehält. Lässt man die überflüssigen magnetischen Terme weg und berücksichtigt gemäß 1) elektrische Ladungsdichten ρ, so ergeben sich folgende Unterschiede zwischen der elektrischen und der magnetischen Version von (3.15):

(3.15-E) c² ΔE − [λ₁D_t + D_t²] E = c²/ε grad ρ,

(3.15-M) c² Δ H − [λ₁ D_t + D_t²] H = 0.

Die linken Seiten sind wieder vom Typ der Telegraphen-Gleichung. In (3.15-E) tritt eine lösungsabhängige Inhomogenität auf. Die Ladungsdichte ρ hängt von den Bewegungen der Ladungen ab. Diese sind, wenn nicht fixiert, den wirksamen elektrischen und magnetischen Kräften E und v×H (Lorentz-Kraft) unterworfen. Es kämen damit für die Veränderung der Ladungsdichte ρ durch ein Geschwindigkeitsfeld v weitere strömungsmechanische Bewegungsgleichungen hinzu. Man sieht, dass die Fundamentale Feldgleichung sich in diesem einfachen Fall auf die Telegraphen-Gleichung in ihrer bekannten Form reduziert, zugleich aber noch weitere Differentialgleichungen hinzutreten. Die Fundamentale Feldgleichung bleibt also nicht "fundamental", sie ist eine von mehreren simultan zu lösenden Differentialgleichungen.

Weil K. Meyl an anderer Stelle über überlichtschnelle Lösungen berichtet [9], sei hier noch angemerkt, dass selbst die allgemeinere Telegraphen-Gleichung (3.15) solche Lösungen nicht zulässt. Nach der Theorie ist die Signalgeschwindigkeit (höchstens) gleich der Lichtgeschwindigkeit c, definiert durch εμ = c⁻².

3) Die Fundamentale Feldgleichung wird bei konstanten Materialkoeffizienten von den Vektorfeldern des elektrischen und magnetischen Feldes erfüllt. Das bedeutet, dass hier stets eine Aussage über das Verhalten eines Vektorfeldes gemacht wird. Im Kontext der Quantentheorie gibt es eine "Klein-Gordon-Gleichung" für eine skalare Wellenfunktion ψ:

(QKG) (Δ − c⁻² D_t²) ψ = (mc/h‾)² ψ mit h‾ = ^h/_2π

Die bestehende Ähnlichkeit zwischen der quantenphysikalischen Klein-Gordon-Gleichung und der transformierten Fundamentalen Feldgleichung Meyls ist rein formaler Natur (vgl. auch [3], S.87: Die eine beschreibt skalare Dichten ψ, die andere Vektorfelder Ψ = E e^λt, λ = (λ₁+λ₂)/2. Wenn es da gemeinsame Hintergründe geben sollte, so sind diese bisher nicht vorgebracht worden, insbesondere müsste auch Gründe für die anzuwendende Exponential-Transformation benannt werden. Auch die weitergehenden Behauptungen Meyls über die Gültigkeit seiner Gleichung im Anwendungsbereich der Schrödinger-Gleichung

(Schr) i D_t ψ = ^h‾/_m Δψ

(auch hier wird eine skalare "Wellenfunktion" ψ gesucht) ist u.a. wegen des Typen-Unterschiedes der Schrödinger-Gleichung zur Fundamentalen Feldgleichung als unbewiesen anzusehen.

4) Während Leitfähigkeiten von Materialien statistische Phänomene darstellen (Elektronentheorie der Metalle), Meyls Fundamentale Feldgleichung sich also auf die makroskopische Welt bezieht, verliert der Begriff der Leitfähigkeit im atomaren Gültigkeitsbereich der Quantentheorie weitestgehend seinen Sinn. Hier werden einzelne Partikel oder geringe Anzahlen davon im Vakuum zwischen Atomen oder auch im Nahbereich von einzelnen Atomen oder Molekülen betrachtet. Wollte man die Fundamentale Feldgleichung auf diesen Bereich übertragen, so wäre das nur durch Annullieren der Leitfähigkeiten möglich, d.h. es müsste

λ₁ = λ₂ = 0

gesetzt werden. Damit würde sich die Fundamentale Feldgleichung auf die Wellen-Gleichung reduzieren, die ihrerseits ein Abkömmling der (homogenen) Maxwell-Gleichungen ist.

5) Die Wellen-Gleichung ist nicht mit den Maxwell-Gleichungen äquivalent. So kann man aus der Wellen-Gleichung longitudinale Lösungen gewinnen, die mit den Maxwell-Gleichungen nicht verträglich sind. Lösungen (E,H) der Maxwell-Gleichungen dagegen sind stets auf dem Poyntingschen Energietransportvektor S senkrecht, schwingen also in diesem Sinne transversal. Diese Nichtäquivalenz ist auch zu beachten, wenn man Phänomene mit Leitfähigkeiten mit Hilfe der Fundamentalen Feldgleichung(en) untersucht. Die Lösungen (E,H) sind nur dann gültig, wenn sie den inhomogenen Maxwell-Gleichungen genügen.

Zusammenfassung Von einer universalen Gültigkeit der Fundamentalen Feldgleichung kann nicht die Rede sein.

Literatur

[4] R. Courant und D. Hilbert, Methoden der Mathematischen Physik II, 2. Auflage, Springer 1968, S.408 ff.

[5] Bronstein e.a., Taschenbuch der Mathematik, Harri Deutsch Verlag, 18. Auflage 1979,

[6] H. Schultze, Magnetische Monopole,

http://www.theorie.physik.uni-goettingen.de/~schultze/monopole/

[7] G.W. Bruhn, Das Dipol-Elektron, in

http://www2.mathematik.tu-darmstadt.de/~bruhn/DIPOL.HTM

[8] A. Sommerfeld, Elektrodynamik, Teubner Leipzig 1949

[9] K. Meyl, Longitudinalwellen-Experiment nach Nikola Tesla,

http://www.k-meyl.de/Aufsatze/Skalarwellen/skalarwellen.html