Das Verhalten der Lösungen von Meyls Fundamentaler Feldgleichung
von Gerhard W. Bruhn, Fachbereich Mathematik der TU Darmstadt
Die Physik kennt bisher keine experimentellen Befunde, die
für die Existenz magnetischer Monopole oder für die von K. Meyl vorgenommenen Dualisierungen der
Maxwell-Gleichungen sprechen. Auch hat K. Meyl bisher trotz gegenteiliger
Behauptungen keine experimentellen Beweise für die Existenz
seiner "hydrotischen" Wirbel vorgelegt. Dies ist umso
erstaunlicher, als man ja auf der elektrischen Seite beim Durchflutungsgesetz
vorgeführt bekommt, wie ein duales Experiment, das die "hydrotische" Erweiterung
des Induktionsgesetzes (
Tafel 5.1
: (12) in [2]) bestätigt, aussehen müsste:
Analog zu einem fließenden elektrischen
Strom hätte man einen magnetischen Strom ausfindig zu machen, der nach Meyls
Gleichung (12) ein zirkulierendes elektrisches Feld erzeugt. Aber wo sind
Generatoren für magnetische Ströme zu finden? Zwischen den Polen eines
Permanentmagneten z.B. fließt kein entladender Magnetstrom, so dass der
Nachweis eines zirkulären elektrischen Feldes an dem Fehlen eines Magnetstromes, mehr noch, an den bisher noch nicht gefundenen magnetischen
Monopolen scheitert, aus denen ein magnetischer
Strom ja bestehen müsste.
Trotz dieses experimentellen Defizits ist es natürlich legitim, über die Konsequenzen der
Meylschen Dualisierung der Maxwell-Gleichungen nachzudenken. K. Meyl leitet
daraus seine Fundamentale Feldgleichung (FFG) her (
Tafel 5.1
in [2]). Wir werden die Lösungseigenschaften der FFG im folgenden
untersuchen und dabei folgende Ergebnisse erzielen, welche in eklatantem Widerspruch zu
Behauptungen von K. Meyl stehen:
–
Alle Wellenlösungen der FFG schwingen
transversal. Meyls Dualisierung der Maxwellschen Gleichungen lässt
keine longitudinalen Wellen, keine Skalarwellen, zu.
–
Ebene Wellenlösungen der FFG bewegen sich mit
einer Phasengeschwindigkeit c' unterhalb der Lichtgeschwindigkeit. Überlichtschnelle Wellenlösungen der FFG können nicht existieren, was im Fall ebener Lösungen konkret nachgerechnet werden
kann, während man im allgemeinen Fall auf einen bekannten Satz aus der Theorie
der partiellen Differentialgleichungen zurückgreifen muss.
–
Für alle ebenen Wellenlösungen der FFG gibt
es eine feste, frequenzunabhängige, Schranke für das Durchdringungsvermögen.
Das sagenhafte Durchdringungsvermögen der FFG-Wellen gehört ins Reich der
Fabeln.
1. Die Transversalität der Meylschen Wellen
K. Meyl leitet seine
Fundamentale Feldgleichung
(FFG) in [2] aus den von ihm "dualisierten"
Maxwell-Gleichungen her, die wir hier für Bezugnahmen benötigen. Diese
Original-Herleitung liefert uns unmittelbar ein erstes wichtiges Ergebnis:
Die FFG kann nach Meyls Tafel 5.1 in [2], Gleichung (7*), nur mit der Bedingung div E = 0 hergeleitet werden. Nach Meyls eigener Herleitung und der Definition transversaler Wellen in Meyls Bild 2 in [1], also nach der für transversale Wellen oben in diesem Bild ausgewiesenen Gleichung div E = 0 gelangt man sofort zu der wichtigen Lösungseigenschaft
Die Lösungen der FFG sind
nach Meyls Herleitung transversale Wellen.
Die von Meyl in [1] betrachteten Skalar- oder Longitudinalwellen sind für die FFG, wie in [3] ausführlich gezeigt wurde, nicht möglich.
2. Ebene Wellenlösungen der FFG
Wir schreiben die FFG in der symmetrischen Form
(1) c2
Δ E = (Dt + λ1) (Dt + λ2) E mit λk> 0.
mit der partiellen Zeitableitung Dt und der ohmschen Dämpfungskonstanten λ1= 1/τ1 = σ/ε sowie der von Meyl erfundenen (aber nicht experimentell belegten) "hydrotischen" Dämpfungskonstanten λ2= 1/τ2 (vgl. Tafel 5.1 in [2]: (12)). Diese formale Symmetrie ist eine Folge der Meylschen Dualisierung der Maxwell-Gleichungen.
Man entnimmt bereits aus (1) (Tafel 5.1 in [2]: (15)), dass beide Dämpfungskonstanten in gleicher Weise in die FFG eingehen, d.h. das Verhalten der Lösungen beeinflussen. Das wird sich im folgenden an dem Einfluss auf ebene Wellen genauer bestätigen.
Betrachtet wird eine in (positiver) x-Richtung fortschreitende ebene Welle der Kreisfrequenz ω >0:
(2) E(x,t) = E0(x) eiωt.
Einsetzen in die Gleichung (1) ergibt wegen Dt eiωt = iω eiωt nach Herauskürzen von eiωt die gewöhnliche lineare Differentialgleichung
(3)
c2 E0" = (iω + λ1) (iω + λ2) E0 = (λ1 + iω)
(λ2 + iω) E0,
wobei
" die zweite Ableitung nach der x-Koordinate (in
Fortschreitungsrichtung der Welle) bezeichnet. Die Lösungen sind proportional
zu eλx/c, wobei λ Lösung der zugehörigen charakteristischen Gleichung
(4) λ2
= c2 k2 = (λ1 + iω) (λ2 + iω)
ist. Weil die Faktoren λ1 + iω und λ2 + iω beide im ersten
Quadranten der komplexen Ebene liegen, hat (4) zwei entgegengesetzt gleiche
Lösungen + λ= +
ω(p+iq) mit p,q > 0. Da wir eine in positiver x-Richtung
fortschreitende Welle suchen, benötigen wir die Lösung λ mit
negativem Imaginärteil –ωq,
also λ = –ωp+iq)
mit q>0. Die Lösung hat dann die Form
(2') E(x,t) = E+ eiωt eλx/c = E+ eiω(t–qx/c) e–ωpx/c
Der Faktor e–ωpx/c zeigt wegen p>0 eine Dämpfung der Amplitude in Fortschreitungsrichtung der Welle an, die in Abschnitt
4 genauer diskutiert werden soll. Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit
(Phasengeschwindigkeit) der Welle ergibt sich aus t-qx/c = const zu c' = c/q.
Wir werden jetzt die Fortpflanzungsgeschwindigkeit c' abschätzen und zeigen, dass c' stets unterhalb der Lichtgeschwindigkeit liegt. Dazu haben wir den Imaginärteil ωq der Lösung λ = –ω(p+iq) der charakteristischen Gleichung (4)
genauer zu diskutieren: Einsetzen von λ ergibt, getrennt nach Real- und Imaginärteil,
(5) p2
– q2 = –1 + λ1λ2/ω2,
(6) pq = ½ (λ1 + λ2)/ω
Multipliziert man die erste Gleichung mit q2
und ersetzt p2q2 mit Hilfe der zweiten Gleichung, so ergibt sich
q4 + (–1 + λ1λ2/ω2) q2 – [½ (λ1 + λ2/ω]2 = 0
Wir wollen q >1 zeigen und interessieren uns deshalb für r = q2
–1. Die Substitution q2 = r+1 überführt die vorige Gleichung in
r2 + (1 + λ1λ2/ω2) r – ¼ (λ1 –λ2)2/ω2 = 0.
Da das konstante Glied (= dem Produkt der beiden Nullstellen) negativ ist, muss eine Nullstelle r+>0
existieren, mithin haben wir statt q+>0
sogar
q+ = (1 + r+)½
> 1.
Damit ergibt sich für die
Fortpflanzungsgeschwindigkeit: c' = c/q+ < c.
Die (Phasen-) Geschwindigkeit der Welle liegt demnach stets unter der Lichtgeschwindigkeit.
Auch für nichtebene Wellenlösungen sind Überlichtgeschwindigkeiten aus mathematischen Gründen (der Theorie der Telegraphen/ Klein-Gordon-Gleichung) nicht möglich.
Zur Abschätzung der Dämpfung und Eindringtiefe der ebenen Welle (2) bestimmen wir p in ähnlicher Weise wie zuvor q: Nach Multiplikation von (5) mit ω4p2 kann p2q2 mit (6) ersetzt werden, und man erhält die biquadratische Gleichung
(7)
(ωp)4 + (ω2– λ1λ2) (ωp)2 – [½(λ1+ λ2)]2ω2 = 0,
die man unter Einführung von geometrischem und arithmetischen Mittel von λ1 und λ2
λg = (λ1λ2)½ bzw. λa = ½(λ1+λ2)
und der Abkürzung a = a(ω) = ω2–λ1λ2
= ω2– λg2 noch etwas übersichtlicher schreiben kann:
(7') (ωp)4 +
a (ωp)2 – ω2λa2 = 0
Die Lösungen dieser biquadratischen Gleichung ergeben sich aus
(8)
(ωp)2 = ½ [–a + (a2 + 4ω2λa2)½].
Weil (ωp)2>0 sein muss und
stets |[a2 + 4λa2]½| > +a gilt,
kann man in (8) nur das Pluszeichen berücksichtigen, also
(8') (ωp)2
= ½ [(a2 + 4ω2λa2)½ –a], ωp= {½ [(a2 + 4ω2λa2)½ –a]}½.
Interessant ist nun eine Abschätzung der Eindringtiefe der Welle: Die Eindringtiefe der Welle ist die Strecke δ in x-Richtung, längs der die Amplitude um
1/e fällt, d.h. δ kann nach (2') aus ωpδ/c
=1 ermittelt werden zu δ = c/ωp. Man erhält
(9)
(ωp)–2 = 2/ [(a2 + 4ω2λa2)½ –a]
= [(a2 + 4ω2λa2)½ + a]
/ [2ω2λa2]
= [(a2
+ 4ω2λa2)½ + a]
/ [2ω2λa2].
Zur Diskussion dieses Ausdrucks substituieren wir
a(ω)/ω2 = 1 – λg2/ω2= 1– λg2 s mit s =1/ω2 und erhalten
2λa2 (ωp)–2 = [(a/ω2)2 + 4λa2/ω2]½ + a/ω2 = [(1– λg2s)2 + 4λa2s]½ + 1– λg2 s
Die rechts stehende Funktion von s bezeichnen
wir mit f(s). Sie hat die Ableitung
f '(s) = {[(λg2 s–1) λg2 + 2λa2] – λg2[(1– λg2s)2 + 4λa2s]½}/ [(1– λg2s)2 + 4λa2s] ½.
Weil der Nenner
positiv ist, kann das Vorzeichen von f'(s) an dem des Zählers abgelesen
werden. Aber der Zähler ist positiv, denn betrachtet man die Differenz der
Quadrate der beiden im Zähler stehenden Ausdrücke, so erhält man
[(λg2s–1) λg2 + 2λa2]2 – λg4 [(1– λg2s)2 + 4λa2s]
= (λg2s–1)2 λg4 – λg4 (1– λg2s)2 + 4
{[(λg2s–1) λg2 λa2 – λg4 λa2s + λa4}
= 0 + 4 {(λg2s–1) λg2 λa2 – λg4 λa2s + λa4}
= 0 + 4 {λg2s λg2 λa2 – λg4 λa2s} + 4 { (–1)
λg2 λa2 + λa4}
= 0 +
0 – 4 λa2(λg2 –λa2).
Der letzte Ausdruck ist > 0, weil das arithmetische Mittel nichtnegativer Zahlen
stets größer oder gleich ihrem geometrischen Mittel ist: λg < λa. Mithin ist die
Ableitung f'(s) > 0, was für die Funktion f(1/ω2) nach der Kettenregel
d/dω f(1/ω2) = f' · (–2)/ω3 < 0
nach sich zieht. Daraus folgt, dass f(1/ω2) mit wachsendem ω fällt. Somit können wir
die Funktion f(1/ω2) für alle ω>0 durch ihren Grenzwerte für
ω →0 bzw. ω →∞ nach
oben und unten abschätzen.
Obere Abschätzung
Für ω→0 hat man a → –λg2 < 0. Das ermöglicht die Umformung
f(1/ω2) = [(a/ω2)2 + 4λa2/ω2]½ + a/ω2 = |a|/ω²·{[1 + 4λa2ω2]½ – 1}.
Erweitern des Bruches mit {[1 + 4λa2ω2]½ + 1} ergibt
f(1/ω2) = |a|/ω²·{[1 + 4λa2ω2] – 1}/{[1 + 4λa2ω2]½ + 1}. = 4λa2/{|a|[1 + 4λa2ω2]½ + 1]}.
Hier kann der Grenzübergang ω→0 durch Einsetzen von ω=0 durchgeführt werden. Mit a(0)= –λg2 erhält man
f(1/ω2) < 2λa2/λg2 oder (ωp)–2 = f(1/ω2)/(2λa2) < 1/λg2.
Untere Abschätzung
f(1/ω2) > limω→∞
f(1/ω2) = lims→0 f(s) = f(0) = 2.
ergibt
(ωp)-2 = f(1/ω2)/(2λa2)
> f(0)/(2λa2) = 1/λa2.
Aus δ = c/ωp ergibt sich für alle Frequenzen ω das folgende wichtige Ergebnis:
Die Eindringtiefe δ von ebenen FFG-Wellen ist für alle Frequenzen
gemeinsam
nach oben und unten beschränkt durch die Zahlen c/λa
bzw. c/λg:
c/λa ≤ δ ≤ c/λg
.
Um
Missverständnissen vorzubeugen, wiederholen wir noch einmal die Definition der
Eindringtiefe:
Die Eindringtiefe der Welle ist die Strecke δ in Fortpflanzungsrichtung, längs der die
Wellenamplitude um 1/e, d.h. auf ca. 37% des Ausgangswertes, gefallen ist. In
doppelter Eindringtiefe liegt die Amplitude dann z.B. bei ca. 13,5% des Ausgangswertes.
Die Wellenenergie ist proportional zum Quadrat der Feldstärke E und wird deshalb
schneller aufgezehrt: In der Tiefe δ ist sie bereits auf 13,5% gesunken, in der
Tiefe 2δ hat man nur noch weniger als 2% der Ausgangsenergie.
Es sei hier noch angemerkt, dass die Formeln
im Anschluss an Gleichung (9) die Berechnung der Eindringtiefe für jede Frequenz
ω gestatten, wenn die Dämpfungskonstanten λ1und
λ2 bekannt sind. Allerdings bleibt die atomare Struktur der Materie in
diesem primitiven Modell außer Betracht, so dass der Einfluss durch atomare
Resonanzen nicht berücksichtigt werden kann. Ansätze dazu finden sich z.B. in [4].
[1] K. Meyl, K. Meyl, Longitudinalwellen-Experiment nach Nikola Tesla,
http://www.k-meyl.de/Aufsatze/Skalarwellen/skalarwellen.html
[2] K. Meyl, Elektromagnetische Umweltverträglichkeit Bd.1, Indel-Verlag 1997, S. 76 f.
[4] W.
Demtröder, Experimentalphysik 2, Elektrizität und Optik, Springer 1995
findet man in
[5] http://www.rossaint.de/News/Seminare/Artikel/Artikel9/A9Teil2/a9teil2.html
[7] http://www.skm-electronic.de/skm1.htm
Eine andere lustige Geschichte, womöglich noch besser als alle Skalarwellen-Fabeln zusammen, finden Sie unter
[8] http://www.plocher.de/index.php?Group=ueberuns&Content=Funktionsweise
wenn Sie dort mit dem Startknopf die Animation in Gang setzen. Das ist so gut, dass es sogar den Stadtrat einer deutschen Großstadt, die immerhin einen berühmten Physiker hervorgebracht hat, überzeugt hat. Wie glücklich wäre der Stadtrat einer anderen mittelalterlichen Stadt gewesen, wenn er, statt Licht in Kiepen in sein fensterloses Rathaus bringen zu lassen, stattdessen einfach der immer nötigen Frischluft die Information "Licht" hätte aufmodulieren lassen können. Aber das ist eben der Unterschied zum Mittelalter:
Uns Heutigen stehen solche pfiffigen Firmen jederzeit zu Diensten.
