\section{Projektive R\"aume}

\subsection{Projektiver Raum \"uber einem K\"orper}

\begin{definition}
Es sei $K$ ein K\"orper und $V(K)$ ein Vektorraum \"uber $K$.
Ist $\vec{0}\ne \vec{p} \in V(K)$ so hei\ss t
\quad $<\vec{p}>:=\{ \lambda \vec{p}\ |\ \lambda \in K\}$ \quad (1-dim. Unterraum)
{\bf Punkt}.\\
Sind $P_i=<\vec{p_i}>, i=1,...,m$ Punkte, so hei\ss t\\
$<\vec{p_1},...,\vec{p_m}>:= 
\{ \sum_ {i=1}^m \lambda_i \vec{p_i} \ | \ \lambda_i \in K\}$ \\
der von $P_1,...P_m$ aufgespannte {\bf projektive Unterraum}. Sind
$\vec{p_1},...,\vec{p_m}$ linear unabh\"angig, so hei\ss t $m-1$ die
{\em Dimension} von $<\vec{p_1},...,\vec{p_m}>$.\\
Ist $\UB_i:=$ Menge der i-dimensionalen projektiven Unterr\"aume, so hei\ss t 
die Struktur
$\PF:=(\UB_0,\UB_1,..., \subset)$ {\bf projektiver Raum}.\\
$\UB_0$ ist die Menge der Punkte, $\UB_1$ die Menge der Geraden.\\
Ist $V=K^{n+1}$, so hei\ss t $n$ die {\em Dimension} von $\PF$.\\
Bez.: \quad $\PF^n(K)$ proj. Raum \"uber $K$.
\end{definition}

{\bf Bemerkung:} Es lassen sich auch projektive R\"aume \"uber {\em Schiefk\"orper}
definieren.\\ 

\subsection{Definition eines  projektiven Raumes}
{\bf Grundlegende Inzidenzeigenschaften} von $\PF^n(K)$:

\begin{enumerate}
\item[{\bf PR1:}]
Zu zwei Punkten $P, Q$ gibt es genau eine Gerade $g$ 
mit $P,Q \ I\ g$.\vspace{-2mm}
\item[{\bf PR2:}](VEBLEN--YOUNG--Axiom)
Sind $A,B,C,D$ vier Punkte so, dass die Geraden $A\vee B$, $C\vee D$ sich schneiden,
 so schneiden sich auch  $A\vee C$, $B\vee D$. \vspace{-2mm}
\item[{\bf PR3:}] 
Jede Gerade inzidiert mit wenigstens 3 Punkten. Es gibt wenigstens 2 verschiedene
Geraden.
\end{enumerate}
\begin{figure}[h]
\vspace{-2mm}
\psfrag{P}{$P$}
\psfrag{A}{$A$}
\psfrag{B}{$B$}
\psfrag{C}{$C$}
\psfrag{D}{$D$}
\centerline{\includegraphics[width=10cm]{veblen-young}}\vspace{-2mm}
\caption{Veblen--Young--Axiom}
\end{figure}

\begin{definition}
Eine Inzidenzstruktur $\PF:= ({\bf P},{\bf G},\in)$ 
mit den Eigenschaften {\bf PR1}--{\bf PR3} hei\ss t {\em projektiver Raum}.
\end{definition}

Zum Aufbau eines projektiven Raumes aus den obigen Axiomen: s. 
{\em Beutelspacher/Rosenbaum}


\newpage


\section{Quadriken in projektiven R\"aumen}

\subsection{Definition einer Quadrik}

\begin{definition}
Es sei $K$ ein K\"orper, $V$ ein Vektorraum \"uber $K$.\\
Eine Abbildung $\rho$ von $V$ in $K$ mit\\
(Q1:) $\rho(\lambda \vec{x})=\lambda^2\rho(\vec{x})$ \quad f\"ur 
$\lambda \in K, \ \vec{x} \in V$.\\
(Q2:) $f(\vec{x},\vec{y}):= \rho(\vec{x}+\vec{y})-\rho(\vec{x})-\rho(\vec{y}) $
ist eine Bilinearform.\\
hei\ss t {\em quadratische Form}.
\end{definition}

\begin{definition}
a) Es sei $\rho$ eine quadratische Form in $K^{n+1}$ 
und $f$ die zugeh\"orige Bilinearform.
$\QF_\rho:= \{<\vec{x}> \ |  \ \vec{x}\ne\vec{0}, \rho(\vec{x})=0\}$ \quad
hei\ss t {\em Quadrik} in $\PF^n(K)$.\\
b) Ist $P=<\vec{p}>$ ein Punkt in $\PF^n(K)$, so hei\ss t\\
$P^\perp:= \{<\vec{x}> \in \PP \ | \ f(\vec{p},\vec{x})=0\}$ \quad
{\em Polarraum} von $P$.
\end{definition}

\begin{lemma}
In $\PF^n(K)$ sei $g$ eine Gerade und $\QF_\rho$ eine Quadrik. Es gilt entweder\\
a) $g\cap \QF_\rho=\emptyset$ und $g$ hei\ss t {\em Passante} \quad oder\\
b) $g\subset \QF_\rho$ und $g$ hei\ss t {\em Tangente} \quad oder\\
c) $|g\cap \QF_\rho|=1 $ und $g$ hei\ss t {\em Tangente } \quad oder\\
d) $|g\cap \QF_\rho|=2 $ und $g$ hei\ss t {\em Sekante}.
\end{lemma}

\begin{lemma}
Ist $P\in \QF_\rho$ und $g$ eine Gerade durch $P$, so gilt:\\
$g$ ist genau dann eine Tangente (an $\QF_\rho$), wenn $g\subset P^\perp$.
\end{lemma}

\subsection{$f$--Radikal und singul\"ares Radikal einer Quadrik}

\begin{lemma}
a) $\RF _\rho:= \{ P\in \PP \ | \ P^\perp =\PP\}$ \ ist ein (proj.) Unterraum.\\
 $\RF_\rho$ hei\ss t {\em f-Radikal} von $\QF_\rho$.\\
b) $\SF_\rho := \RF_\rho \cap \QF_\rho$ ist ein (proj.) Unterraum.\\
$\SF_ \rho$ hei\ss t {\em singul\"ares Radikal}.\\
c) Falls Char $K \ne 2$ ist, gilt $\RF_\rho=\SF_ \rho$.
\end{lemma}
  
\begin{definition}
Eine Quadrik $\QF_\rho$ hei\ss t {\em nicht ausgeartet}, wenn 
$\SF_\rho =\emptyset$.
\end{definition}

\subsection{Index einer Quadrik}
 
\begin{definition}
Ein Unterraum $\UF$ des projektiven Raumes $\PF^n(K)$ hei{\ss}t 
{\em $\rho$--Unterraum}, wenn  $\UF\subset \QF_\rho$.
\end{definition}


\begin{resultat}
Je zwei {\em maximale $\rho$--Unterr\"aume} haben dieselbe Dimension.
\end{resultat}

\begin{definition}
Ist $\QF_\rho$ eine n.a. Quadrik und ist $m$ die (proj.) Dimension der maximalen
$\rho$--Unterr\"aume von $\QF_\rho$, so hei{\ss}t \ $i:= m+1$ \ der
{\bf Index} von $\QF_\rho$.
\end{definition}

\begin{resultat}
F\"ur den Index\ $i$\ einer n.a. Quadrik in \ $\PF^n(K)$\ gilt:
\quad $i \le\frac{n+1}{2}$.
\end{resultat}

\subsection{Symmetrien einer Quadrik}

\begin{lemma}
Zu jedem Punkt\ $P\in \PP \setminus (\QF_\rho \cap \RF_\rho)$\ gibt es eine
involutorische Zentralkollineation $\sigma_P$ mit dem Zentrum $P$ und
\ $\sigma(\QF_\rho)=\QF_\rho$.
\end{lemma}

\subsection{Quadratische Mengen}

\begin{definition}
Es sei $\PF$ ein projektiver Raum. Eine Menge $\MF\ne \emptyset$ von $\PF$
hei{\ss}t {\em quadratische Menge}, wenn gilt\vspace{-2mm}
\begin{itemize}
\item[QM1:] Jede Gerade $g$ von $\PF$ trifft $\MF$ in h\"ochstens 2
Punkten oder ist in $\MF$ enthalten.\\
$g$ hei{\ss}t\quad  {\em Passante}\quad bzw.\quad {\em Tangente}\quad bzw.
\quad {\em Sekante}\quad, falls\\ 
$|g\cap \MF|=0$\quad bzw.\quad $|g\cap \MF|=1$ oder $g\subset \MF$ 
\quad bzw.\quad $|g\cap \MF|=2$\quad ist.\vspace{-2mm}
\item[QM2:] F\"ur jeden Punkt $P\in\MF$ ist die Vereinigung $\MF_P$ aller
Tangenten durch $P$ eine Hyperebene oder der ganze Raum.
\end{itemize}
\end{definition}

\begin{definition}
Eine Quadratische Menge $\MF$ hei{\ss}t {\em nicht ausgeartet}, falls
$\MF_P$ f\"ur jeden Punkt $P$ eine Hyperebene ist.
\end{definition}

\begin{resultat}[BUEKENHOUT,1969]
Es sei $\PF^n$ ein projektiver Raum der endlichen Dimension $n\ge 3$
und $\MF$ eine nicht ausgeartete quadratische Menge, die Geraden
enth\"alt. Dann gilt: $\PF^n$ ist pappussch und $\MF$ ist eine
Quadrik vom Index $\ge 2$.
\end{resultat}

\begin{definition}
Es sei $\PF$ ein projektiver Raum der Dimension $\ge 2$. Eine nicht
ausgeartete quadratische Menge $\OF$, die keine Geraden enth\"alt, hei{\ss}t 
{\bf Ovoid} (oder {\em Oval} im ebenen Fall).
\end{definition}

\begin{resultat}
\begin{itemize}
\item[a)] Ist $|K|<\infty$ und $\OF$ ein Ovoid in $\PF^n(K)$, so ist
$n=2$ oder $n=3$.\vspace{-2mm}
\item[b)]  Ist $|K|<\infty$ und $\OF$ ein Ovoid in $\PF^n(K)$ und Char K$\ne 2$,
so ist $\OF$ eine Quadrik.
\end{itemize}
\end{resultat}

Eine formale Ausdehnung der Definition von Quadriken auf Vektorr\"aume \"uber echten 
Schiefk\"orpern ist nicht sinnvoll, da es dann Sekanten mit mehr als 2 Quadrikenpunkten
geben w\"urde. Der Grund ist die folgende Aussage:

\begin{resultat}
Ein Schiefk\"orper \ $K$ \ ist genau dann {\bf kommutativ}, wenn jede Gleichung
\quad $x^2+ax+b \ ,\ a,b \in K$ \ , \quad h\"ochstens {\bf zwei} L\"osungen besitzt.
\end{resultat}

\vfill

\section{Schlussbemerkung: Beweise}
Die {\bf Beweise} der meisten Aussagen \"uber Kegelschnitte und Quadriken dieses 
Skriptes findet man im Skript \"uber {\em Kreisgeometrien} (engl.): 
\begin{verbatim}
http://www2.mathematik.tu-darmstadt.de/~ehartmann/circlegeom.pdf 
\end{verbatim}



\section{Literatur}

\begin{itemize}
\item L. Kadison, M.T. Kromann: 
      {\em Projective Geometry and modern Algebra},\\ Birkh\"auser-Verlag, 1996
      \vspace{-2mm}
\item M. Audin: {\em Geometry}, Springer-Verl., 2003\vspace{-2mm}
\item A. Beutelspacher, U. Rosenbaum:
      {\em Projektive Geometrie},\quad Vieweg-Verlag, 2004\vspace{-2mm}
\item H. Karzel, K. S\"orensen, D. Windelberg: 
      {\em Einf\"uhrung in die Geometrie},\\
      Vandenhoeck \& Ruprecht, 1973   \vspace{-2mm}   
\item H. Lenz: {\em Vorlesungen \"uber projektive Geometrie},\
      Akad. Verlagsgesellschaft, 1965



\end{itemize}

