Bereiche und Bewertungen

Olaf Kirch

Juni 1993 Diplomarbeit am

Fachbereich Mathematik der Technischen Hochschule Darmstadt

Betreuender Professor: Prof. Klaus Keimel

Inhaltsverzeichnis

Liste der Symbole iii

1 Einführung 1 1.1 Semantik von Programmiersprachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Nondeterminismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Die “way–below” Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Die erweiterten reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5 Halbstetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.6 Bewertungen auf topologischen Räumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Einfache Bewertungen 14

3 Endlich additive Fortsetzungen von Bewertungen 21 3.1 Die Fortsetzung beschränkter Bewertungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2 Die Fortsetzung unbeschränkter Bewertungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4 Integration stetiger Funktionen bezüglich einer Bewertung 30

5 Der Bereich aller stetigen Bewertungen 40

6 Die Monade V 50

7 Die Algebren der Monade V 56

8 Dualitätssätze 64 8.1 Lineare Funktionale auf einem Kegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 8.2 Die Kleisli-Kategorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 8.3 Die Schwache Topologie auf V(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 8.4 Die Schwache Topologie auf L(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

9 Ausblick 74 9.1 Bewertungen und Maße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 9.2 Spezialisierung der Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 9.3 Weiterführende Fragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Liste der Symbole

χ_{U} Die charakteristische Funktion der Menge U, die jedem x ∈ U

den Wert 1 und allen anderen 0 zuordnet.

dom_{μ}

Zu einer gegebenen Bewertung μ der Verband aller offenen Mengen mit endlichem Bild.

η_{x}  Die dem Punkt x zugeordnete Punktbewertung.
F(X) Die von O(X) endlich erzeugte Boolesche Mengenalgebra.
F_{0}(X) Der von dom_{μ} endlich erzeugte Boolesche Mengenring.
L(X) Der Verband der halbstetigen Funktionen f : X → \overline{IR}_{+}.
O(X) Der Verband der offenen Mengen des topologischen Raums X.
P(A) Die Potenzmenge von A.
σ(X) Die Scott–Topologie auf einem Bereich X.

Spec L Das Spektrum des Verbandes L, d.h. die Menge aller Primelemente ungleich 1_{L}.

\overline{IR}_{+}  Die um ∞ erweiterten nichtnegativen reellen Zahlen.

V(X) Der Raum aller stetigen Bewertungen μ : O(X) → \overline{IR}_{+} auf

einem topologischen Raum X.

μ̄ Die kleinste Fortsetzung einer stetigen Bewertung μ auf die von O(X) erzeugte Boolesche Algebra F(X).

\overline{A}  Der topologische Abschluß der Menge A.
↑ x  Die Menge aller y ≥ x.
↓ x  Die Menge aller y ≤ x.
↑ ↑ x  Die Menge aller y ≫ x.
↓ ↓ x  Die Menge aller y ≪ x.

Kapitel 1

Einführung

Mephisto: Sie ist gerichtet! Stimme (von oben): … gerettet!

nach J.W. von Goethe Faust I. Letzter Aufzug.

1.1 Semantik von Programmiersprachen

Ein Programm — als symbolische Anweisung an eine “Rechenmaschine” — schreibt man im allgemeinen, damit es etwas bestimmtes berechnet oder tut. Ein syntaktisch korrektes Programm wird auch meist etwas tun. Die fundamentale Frage ist, ob es auch das ist, was man im Sinn hatte, als man es schrieb.

Um das sicherzustellen, müßte man die Korrektheit des Programms beweisen. Das ist eine vergleichsweise müßige Beschäftigung für das Gros aller Programme, aber durchaus sinnvoll für bestimmte Anwendungen, deren fehlerfreies Funktionieren aus Sicherheits– oder ähnlichen Gründen unabdingbar ist.

Will man einen Korrektheitsbeweis führen, benötigt man zunächst einen Formalismus, der den Gegenstand der Untersuchung unzweideutig beschreibt und ein geeignetes Instrumentarium an Schlußregeln zur Verfügung stellt.

Ein möglicher mathematischer Zugang zur Beschreibung von Programmen ist, sie als Funktionen aufzufassen, die gewisse Anfangszustände aus einer Zustandsmenge E in gewisse Endzustände einer Zustandsmenge A überführen. Als Zustandsbeschreibungen könnte beispielsweise die Speicher–, d.h. Variablenbelegung der Maschine dienen. Allgemein wird man von Ein– und Ausgaben sprechen. Dieser Ansatz eignet sich insbesondere für imperative Sprachen, d.h. solche, deren Programme sich aus Anweisungsfolgen zusammensetzen.

Man wird sich bei dieser Betrachtungsweise aber im allgemeinen nicht auf die durch Programme dieser Sprache berechenbare Funktionen beschränken, sondern auch solche hinzunehmen, die durch diese “beliebig gut angenähert” werden können. Wir werden im folgenden diese zunächst unspezifische Menge von Funktionen einfach mit F bezeichnen.

Möchte man nun zwei Programme bezüglich ihrer Qualität vergleichen, also welches die zu berechnende Funktion besser annähert, führt man üblicherweise eine Ordnung auf der Menge der Ausgaben ein, die es erlaubt, den “Informationsgehalt” zweier Berechnungsergebnisse miteinander zu vergleichen. Man wird dann sagen, ein Programm sei “besser” als ein anderes, wenn es für jede Eingabe ein “besseres” Ergebnis liefert als das andere.

Die dabei zugrundegelegte Relation auf der Menge A ist gewöhnlich eine sogenannte Halbordnung. Eine Halbordnung ist eine reflexive, antisymmetrische und transitive binäre Relation, d.h. folgende Axiome sind erfüllt:^{1}

x ≤ x
x ≤ y und y ≤ z ⇒ x ≤ z
x ≤ y und y ≤ x ⇒ x = y

Im Zusammenhang mit einer Ordnung ≤ auf der Menge A werden wir oft von oberen und unteren Mengen sprechen. Eine obere Menge V enthält mit jedem x ∈ V auch alle darüberliegenden Elemente z ≥ x. Eine untere Menge ist entsprechend definiert. Ferner werden wir gelegentlich die Symbole ↑ x und ↓ x verwenden. Für ein Element x ∈ A bezeichnen diese die Mengen aller Elemente größer gleich beziehungsweise kleiner gleich x.

Ausgehend von dieser Halbordnung auf A vereinbaren wir für zwei Funktionen f, g ∈ F, daß genau dann f kleiner gleich g gelten soll, wenn f(x) ≤ g(x) für alle x ∈ A gilt. Die so definierte Relation auf F ist wiederum eine Halbordnung.

Nun ist es natürlich möglich, zusätzlich eine Ordnung auf E vorzugeben. Eine natürliche Forderung an eine Funktion f : E → A ist dann, daß sie für eine “bessere” Eingabe auch ein “besseres” Ergebnis liefert. Mit anderen Worten: Gilt a ≤ b in E, so soll auch f(a) ≤ f(b) in A gelten. Eine solche Funktion nennt man monoton oder auch ordnungserhaltend.

Kehren wir zurück zum oben angedeuteten Begriff der Approxation. Man wird sagen, eine Teilmenge D der Menge A approximiere ein Element x ∈ A, wenn x “besser” ist als jedes Element von D — d.h., für jedes z ∈ D ist z ≤ x — und diese x “beliebig nahekommen.” Letzteres kleidet man im allgemeinen in die Forderung, daß x die kleinste obere Schranke von D sei. Hierfür schreibt man auch kurz x = sup D und sagt, x sei das Supremum von D.

Die umgekehrte Frage ist, welches Element eine beliebige Teilmenge D von A nun approximiere. Bedauerlicherweise ist es oft so, daß nicht alle Teilmengen überhaupt eine obere Schranke A haben, geschweige denn eine kleinste. Man zieht sich daher auf eine bestimmte Art von Teilmengen D zurück — solche, die gerichtet sind. Eine Teilmenge D heißt genau dann gerichtet, wenn zu je zwei Elementen x, y ∈ D eine gemeinsame obere Schranke z ∈ D existiert, d.h., wenn x, y ≤ z gilt.

1Oft wird verkürzend nur von einer Ordnung die Rede sein, wo eine Halbordnung gemeint ist. Halbordnungen, die außerdem total sind, also je zwei Elemente stets vergleichbar sind, werden im Unterschied hierzu totale Ordnung genannt.

Zumindest für solche Teilmengen hätte man nun gerne, daß sie eine kleinste obere Schranke haben. Geordnete Mengen mit dieser Eigenschaft nennt man Bereiche.

Hat man nun diesen Begriff der Approximation, so ist es nur natürlich, Funktionen zu betrachten, die diesen auch erhalten. D.h., wird ein Element x ∈ E durch eine gerichtete Menge D approximiert, so soll das Bild von D unter f das Element x approximieren. Mit anderen Worten, wir fordern, daß für jede gerichtete Menge D gelte

f(sup D) = sup {f(x) | x ∈ D} (1.1)

Eine solche Funktion nennt man Scott–stetig. Eine Scott–stetige Funktion ist insbesondere monoton.

Scott–Stetigkeit von Funktionen ist tatsächlich auch eine Stetigkeit im herkömmlichen, d.h. topologischen Sinne. Man kann nämlich auf einem Bereich X eine Topologie σ(X) definieren, die sogenannte Scott–Topologie, so daß eine Funktion f genau dann für alle gerichteten Mengen D Gleichung (1.1) erfüllt, wenn sie bezüglich dieser Topologie stetig ist.

Eine Menge U ⊆ X wird dabei Scott–offen genannt, wenn sie obere Menge ist, und für jede gerichtete Menge D mit sup D ∈ U folgt, daß bereits ein z ∈ D existiert, das auch in U liegt.

Eine Menge A ⊆ X heißt abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist. Dies ist gleichbedeutend damit, daß das Supremum jeder gerichteten Menge D ⊆ A wieder in A liegt. Insbesondere ist für jedes x ∈ X die Menge ↓ x der Abschluss der Menge {x}.

Interpretiert man wie oben die Elemente eines Bereichs als irgendwelche “Dinge”, denen eine gewisse Information zukommt, und die Ordnung als Vergleich des Informationsgehalts, so kann man die offenen Mengen als Prädikate, also Aussagen, über diese “Dinge” betrachten. Ein Element erfüllt die durch U repräsentierte Aussage, wenn x ∈ U gilt.^{2}

Rekapitulieren wir die Forderungen, die wir mittlerweile an unsere Beschreibung der Semantik einer Programmiersprache gestellt haben: Die Ein- und Ausgaben eines Programms sollen Bereiche E und A sein. Die Funktion f : E → A, die die Funktionsweise des Programms beschreibt, soll weiterhin stetig sein.

2Ein solcher Ansatz geht allerdings nicht von einer klassischen Aussagenlogik aus, sondern von einer intuitionistischen.

1.2 Nondeterminismus

Von großem Interesse für die Informatik sind nichtdeterministische Programme, d.h. solche, deren Berechnung vom “Zufall” gesteuert sind. Bei im klassischen Sinne nichtdeterministischen Programmen interessiert ausschließlich die Menge der möglichen Ergebnisse zu einer jeweiligen Eingabe, nicht jedoch die Wahrscheinlichkeit der Einzelereignisse. Eine solche nichtdeterministische Programmiersprache wird ein Konstrukt aufweisen, das aus endlich vielen Möglichkeiten eine beliebige aussucht.

Daneben kann man auch danach fragen, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine bestimmte Eingabe ein bestimmtes Ergebnis liefert. Dies ist für Programmiersprachen angemessen, die in einem Programmschritt erlauben, eine statistisch gewichtete Auswahl aus endlich vielen Möglichkeiten zu treffen. C. Jones nennt dies “probabilistischen Nondeterminismus.” Eine Möglichkeit, die Funktionsweise eines Programmes mathematisch zu beschreiben, ist, jedem Ergebnis die Wahrscheinlichkeit seines Auftretens zuzuordnen. Dies läßt aber solche Programme unbeachtet, für die einzelne Ergebnisse für sich betrachtet stets mit Wahrscheinlichkeit Null auftreten. Als Beispiel sei ein Programm betrachtet, das eine endlose Folge von Nullen und Einsen erzeugt, wobei die Ziffern jeweils mit Wahrscheinlichkeit 1/2 auftreten. Die Wahrscheinlichkeit des Auftretens einer bestimmmten Folge ist null. Wohl aber können die Frage beantworten, wie wahrscheinlich es ist, daß beispielsweise die ersten n Ziffern m Nullen enthalten.

N. Saheb-Djahromi ([15]) hat vorgeschlagen, statt der Einzelwahrscheinlichkeiten auf den Elementen Wahrscheinlichkeitsmaße auf der von der Scott–Topologie erzeugten Borel– Algebra zu betrachten. Er bezeichnet die Menge aller von innen regulären Wahrscheinlichkeitsmaße auf einem Bereich X mit P(X) und definiert darauf eine Ordnung. Für zwei Maße μ, ν ∈ P(X) gilt μ ≤ ν genau dann, wenn μ(U) ≤ ν(U) für alle Scott–offenen Mengen U ∈ σ(X) gilt.^{3}

Claire Jones modifiziert diesen Ansatz, indem sie von Wahrscheinlichkeitsmaßen zu sogenannten Bewertungen (engl. evaluations) übergeht.

Definition 1.1 Sei X ein topologischer Raum, und O(X) der Verband der offenen Mengen. Eine Abbildung μ : O(X) → \overline{IR}_{+} heißt Bewertung auf X, wenn sie monoton, strikt und modular ist. Striktheit bedeutet μ(∅) = 0; die Funktion wird modular genannt, wenn sie für alle U, V ∈ O(X) folgende Bedingung erfüllt:

μ(U) + μ(V) = μ(U ∪ V) + μ(U ∩ V)

Die Bewertung μ heißt stetig, wenn sie bezüglich der Scott–Topologie auf O(X) stetig ist, d.h. wenn für jede gerichtete Familie U von offenen Mengen auf X gilt:

μ(⋃ U) = sup_{U∈U} μ(U)

3Er definiert weiterhin die Menge P_{f} (X) aller Linearkombinationen von Punktmaßen, und stellt für den Fall stetiger Bereiche X einen Satz auf, der besagt, daß jede gerichtete Menge von Punktmaßen in P_{f} (X)

eine kleinste obere Schranke in P(X) hat. Meines Erachtens ist der Beweis jedoch unvollständig.

Diese Bewertungen verhalten sich nun genau so wie auf O(X) eingeschränkte Maße. Ist der Raum X lokal (quasi-)kompakt, so ist die Einschränkung eines von innen regulären Maßes auch eine stetige Bewertung. Die Umkehrung muß allerdings nicht gelten.

Um nondeterministische Programme zu modellieren, betrachtet C. Jones alle Bewertungen auf einem Bereich A, die durch 1 beschränkt sind, das heißt solche, so daß μ(A) ≤ 1 gilt. Die Menge all dieser Bewertungen wird mit V(A) bezeichnet. Ein Programm läßt sich dann durch eine Abbildung F : E → V(A) beschreiben, d.h. jeder Eingabe x ∈ E wird eine “Wahrscheinlichkeitsverteilung” auf A zugeordnet.

Sei μ := F (x), dann bezeichnet μ(U) die Wahrscheinlichkeit, daß das Ergebnis a einer tatsächlichen Berechnung in U liegt. Da wir oben offene Mengen und Prädikate miteinander identifiziert hatten, beschreibt dies also die Wahrscheinlichkeit, daß ein entsprechender Sachverhalt auf a zutrifft.

Da jedes Ergebnis a einer Berechnung in A liegt, würde man erwarten, daß die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses, also μ(A), gleich 1 ist. Man muß jedoch in Betracht ziehen, daß eine Berechnung nicht terminieren muß, d.h., mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit läuft das Programm bei einer bestimmten Eingabe endlos weiter. Also gibt μ(A) die Wahrscheinlichkeit dafür an, daß das Programm überhaupt terminiert. Aus diesem Grunde schließt die Definition von V(A) auch Bewertungen mit μ(A) < 1 ein.

Nun gibt es auf jedem topologischen Raum eine Klasse besonderer Bewertungen, nämlich die Punktbewertungen. Für jedes a ∈ A definiert man die Punktbewertung η_{a} als diejenige, die einer offenen Menge U ∈ O(A) genau dann 1 zuordnet, wenn a ∈ U ist; andernfalls ordnet sie U den Wert 0 zu.

Einem Programm N, das jeden Zustand e ∈ E in sich selbst überführt, also “nichts tut,” wird man folgerichtig in unserer Semantik die Abbildung F : e ↦ η_{e} : E → V(E) zuordnen, denn die Wahrscheinlichkeit, daß das Ergebnis F (e) der Berechnung in einer offenen Menge U liegt, ist gleich der Wahrscheinlichkeit, daß e bereits in U lag — also η_{e}(U). Die Abbildung e ↦ η_{e} bezeichnen wir mit η_{E}.

In imperativen Sprachen baut sich ein Programm aus einzelnen Programmschritten auf. Eine Semantik dieser Sprachen wird im allgemeinen jedem Programmschritt eine Funktion zuordnen und diese Funktionen miteinander verketten. Betrachten wir ein Programm P, das sich aus zwei Programmschritten S_{1} und S_{2} zusammensetzt, die nacheinander ausgeführt werden. Nach obiger Überlegung ordnen wir den Programmschritten Funktionen F_{1} : E → V(A_{1}) beziehungsweise F_{2} : A_{1} → V(A) zu. Das Programm wollen wir nun durch eine Funktion F : E → V(A) beschreiben, wobei F eine “Verkettung” von F_{1} und F_{2} ist. Um dies möglich zu machen, müssen wir F_{2} irgendwie zu einer Funktion F_{2}^{∗} : V(A_{1}) → V(A) fortsetzen. Dann können wir F := F_{2}^{∗} ∘ F_{1} setzen.

Betrachten wir was passiert, wenn wir vor dem Programm P den Programmschritt N ausführen, der nichts tut. Selbstverständlich verlangen wir, daß die zugehörige Funktion gleich F ist, da sich an der Semantik unseres Programms nichts geändert hat. Die Semantik von N war jedoch η_{E}, also lautet unsere Forderung:

F = F^{∗} ∘ η_{E} (1.2)

d.h., F (e) = F^{∗}(η_{e}) für alle e ∈ E. Außerdem verlangt man, daß F^{∗} die einzige Funktion ist, die Gleichung (1.2) erfüllt.

Eine solche Konstruktion (V,^{∗}, η), die obige Eigenschaften hat, und für die zusätzlich gilt, daß V ein Funktor ist, ist genau dann möglich, wenn V eine sogenannte Monade ist. Wir werden zu diesem Begriff in einem späteren Kapitel zurückkehren. Die Operation ^{∗} wird in Abschnitt 8.2 definiert werden.

Die vorliegende Arbeit erweitert die von C. Jones durchgeführten Konstruktionen auf die Menge aller Bewertungen, einschließlich der unbeschränkten Bewertungen. Diese haben keine direkte Anwendung auf das oben beschriebene Modell einer Semantik mehr, erlauben aber, einige der Beweise von C. Jones in einen allgemeineren Zusammenhang zu stellen.

1.3 Die “way–below” Relation

Eine zusätzliche Relation, die auf einer halbgeordneten Menge definiert werden kann, ist die sogenannte way–below– oder weit–unterhalb–Relation. Von zwei Elementen x, y ∈ X sagt man, daß x weit unterhalb von y liege, in Zeichen x ≪ y, wenn für jede gerichtete Menge D, deren Supremum existiert und größer gleich y ist, ein z ∈ D existiert, so daß x ≤ z ist.

Die Symbole ↑ ↑ x und ↓ ↓ x bezeichnen für ein x ∈ X jeweils die Menge aller y ∈ X, die weit oberhalb beziehungsweise weit unterhalb von x liegen. In einem Bereich ist insbesondere ↑ ↑ x für jedes x ∈ X offen, und das Innere der Menge ↑ x.

Einen Bereich X nennen wir stetig, wenn für jedes x ∈ X die Menge ↓ ↓ x gerichtet ist und x als ihr Supremum hat. In einem stetigen Bereich bildet { ↑ ↑ x|x ∈ X} eine Basis der Scott–Topologie.

Ein Bereich X heißt ω–stetig, wenn eine höchstens abzählbare Teilmenge B ⊆ X existiert, so daß für alle x ∈ X die Menge ↓ ↓ x ∩ B gerichtet ist und x als ihr Supremum hat.

Es gilt folgender Satz:

Satz 1.1 Ein stetiger Bereich X ist genau dann ω–stetig, wenn die Scott–Topologie auf X das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt.

Beweis: Einen Beweis findet man unter anderem in Norberg [12].

1.4 Die erweiterten reellen Zahlen

Um Funktionen betrachten zu können, die einem Punkt auch den Wert unendlich zuordnen können, erweitern wir die nichtnegativen reellen Zahlen um den Wert ∞:

Definition 1.2 Bezeichne \overline{IR}_{+} die nichtnegativen reellen Zahlen einschließlich ∞. Die herkömmlichen Rechenoperationen, Addition und Multiplikation, werden folgendermaßen fortgesetzt:

\begin{aligned}x + ∞ & = & ∞ + x & = & ∞ \\ x · ∞ & = & ∞ · x & = & ∞ falls x ≠ 0 \\ 0 · ∞ & = & ∞ · 0 & = & 0 \end{aligned}

Im folgenden soll dieser Raum, wo nicht anders erwähnt, mit der Scott–Topologie ausgestattet sein.

Proposition 1.1 \overline{IR}_{+} ist, mit der gewöhnlichen Ordnung ausgestattet, ein stetiger Verband, und die oben definierten Operationen sind komponentenweise Scott–stetig.

Beweis: Aufgrund des Supremumsaxioms hat jede beschränkte Teilmenge von IR_{+} eine kleinste obere Schranke. Das Supremum einer unbeschränkten Teilmenge ist sicherlich ∞. Also ist \overline{IR}_{+} ein Bereich.

Es ist leicht nachzuprüfen, daß für a, b ∈ \overline{IR}_{+} genau dann a ≪ b gilt, wenn a < b oder b = 0 ist. Da a = sup \{b | b < a\}, ist \overline{IR}_{+} auch stetig. Da es ein kleinstes Element, nämlich die Null, hat, ist es auch ein stetiger Verband.

Daß Addition und Multiplikation bezüglich der Produkttopologie auf IR_{+} × IR_{+} Scott– stetig sind, ist klar. Sei nun D ⊂ \overline{IR}_{+} gegeben, und sup D = ∞. Dann ist

0 · sup D = 0 · ∞
= 0
= sup_{x∈D}(x · 0)

sowie für a > 0

a · sup D = a · ∞
= ∞
= sup_{x∈D}(x · ∞)

1.5 Halbstetige Funktionen

Eine wichtige Rolle werden im folgenden die sogenannten von unten halbstetigen Funktionen von einem topologischen Raum X in die erweiterten reellen Zahlen spielen:

Definition 1.3 Sei X ein topologischer Raum. Eine Funktion f : X → \overline{IR}_{+} heißt (von unten) halbstetig, wenn f bezüglich der Scott–Topologie auf \overline{IR}_{+} stetig ist.

Der Raum aller halbstetigen Funktionen f : X → \overline{IR}_{+} bezeichnen wir mit L(X). Er sei stets mit der punktweisen Ordnung ausgestattet, d.h.

f ≤ g ⇔ ∀x ∈ X.f(x) ≤ g(x)

Besondere halbstetige Funktionen sind die charakteristischen Funktionen offener Mengen. Sei U ∈ O(X), dann definieren wir

χ_{U}(x) := \{ \begin{matrix}1 & Falls x ∈ U \\ 0 & sonst \end{matrix}

Man prüft leicht nach, daß diese Funktionen stetig sind.

Auf den halbstetigen Funktionenraum kann man nun eine — punktweise — Addition definieren, sowie die Skalarmultiplikation mit reellen Skalaren:

Definition 1.4 Eine Menge C heißt (reeller) Kegel, wenn ein ausgezeichnetes Element 0 ∈ C existiert, sowie zwei Operationen + : C × C → C und · : \overline{IR}_{+} × C → C definiert sind, die für alle c, d, ∈ C und r, s ∈ \overline{IR}_{+} folgende Eigenschaften erfüllen:

(a + b) + c = a + (b + c)
(a + b) = b + a
(a + 0) = 0
(1 · a) = a
(r · s) · a = r · (s · a)
r · (a + b) = (r · a) + (r · b)
(r + s) · a = (r · a) + (s · a)

Ist C ein Bereich, so sprechen wir von einem Bereichskegel, falls die Operationen bezüglich der Scott–Topologien auf C und \overline{IR}_{+} komponentenweise stetig sind. Ist C darüberhinaus stetig, so sprechen wir von einem stetigen Kegel.

Eine stetige Abbildung f : C_{1} → C_{2} zwischen Bereichskegeln C_{1}, C_{2} heiße linear, falls sie die Kegeloperationen erhält.

Lemma 1.1 Sei X ein topologischer Raum. Dann ist L(X) ein vollständiger Verband. Außerdem sind eine Addition und eine Skalarmultiplikation definiert, nämlich die punktweisen Operationen:

(f + g)(x) := f(x) + g(x)
(r ∗ f)(x) := r · f(x)

wobei f, g ∈ L(X), x ∈ X und r ∈ \overline{IR}_{+} sind. Ferner definieren wir die Abbildung n als die charakteristische Funktion von ∅.

Dann ist (L(X), +, ∗, n) ein Bereichskegel.

Beweis: Es läßt sich leicht nachprüfen, daß das punktweise Supremum einer beliebigen Menge halbstetiger Funktionen wieder halbstetig ist. Da L(X) ein kleinstes Element hat, nämlich die konstante Funktion 0, hat auch jede Menge von Funktionen in L(X) ein Infimum. Daher ist L(X) ein vollständiger Verband. Insbesondere ist es damit auch ein Bereich.

Sicherlich ist L(X) bezüglich der punktweisen Addition und Skalarmultiplikation ein Kegel. Daß diese Operationen Scott–stetig sind, folgt aus der Scott–Stetigkeit der Addition und Multiplikation auf \overline{IR}_{+}. Also ist L(X) ein Bereichskegel.

Damit können wir nun unter anderem schließen, daß beliebige Linearkombinationen halbstetiger Funktionen wieder halbstetig sind. Also können wir, auf den charakteristischen Funktionen offener Mengen aufbauend, beliebige stetige Treppenfunktionen konstruieren.

Definition 1.5 Sei X ein topologischer Raum. Eine Funktion s ∈ L(X) heiße einfach, wenn ihr Bild endlich ist und für alle x ∈ X die Beziehung f(x) < ∞ gilt.

Proposition 1.2 Jede einfache Funktion s ist als endliche Linearkombination von Charakteristiken offener Mengen darstellbar, d.h., es existiert ein n ∈ IN existiert, sowie r_{1}, …, r_{n} und U_{1}, …, U_{n}, so daß

s = ∑_{i=1}^{n} r_{i} · χ_{U_{i}}

Beweis: Seien 0 < a_{1} < … < a_{n} < ∞ die positiven Werte im Bild von s. Wir wählen nun ein ε > 0, so daß a_{i}+ε < a_{i+1} für alle i. Dann setzen wir a_{0} := 0, sowie U_{i} := s^{−1}((a_{i}−ε, ∞]). Offensichtlich ist nun ∑_{i=1}^{n}(a_{i} − a_{i−1})χ_{U_{i}}.

Im folgenden wollen wir dies die Standard–Darstellung nennen. Eine weitere Darstellung der Funktion aus obiger Proposition ist

s = ⋁_{i=1}^{n} a_{i}χ_{U_{i}}

Von unten halbstetige Funktionen f : X → \overline{IR}_{+} kann man nun durch einfache Funktionen approximieren:

Lemma 1.2 Sei X ein topologischer Raum, und f ∈ L(X). Dann gilt

f = sup_{n∈IN} ∑_{i=1}^{n·2^{n}} 2^{−n}χ_{f^{−1}((i·2^{−n},∞])}

und dieses Supremum ist gerichtet.

Beweis: Durch Nachrechnen.

Das Compendium ([3], Abschnitt II.4) behandelt Funktionenräume nun recht allgemein und ausführlich. Im folgenden seien einige Ergebnisse festgehalten:

Satz 1.2 Sei X ein topologischer Raum, so daß O(X) stetig ist. Dann ist L(X) ebenfalls ein stetiger Verband.

Beweis: Siehe [3, Prop. II.4.6].

Bemerkung 1.1 Die core–kompakten Räume sind von Hofmann und Mislove (in [5]) quasi lokal–kompakt genannt worden. Der Anklang an Kompaktheit in diesen Namen geht auf die Nähe dieser Räume zu den lokal quasi–kompakten Räumen zurück: In einem solchen Raum hat jeder Punkt eine Umgebungsbasis quasikompakter Mengen; insbesondere sind diese Räume core–kompakt. Andererseits ist jeder core–kompakte nüchterne Raum auch lokal quasikompakt.

Folgendes Lemma ist eine leichte Abwandlung einer Übungsaufgabe aus dem Compendium ([3, II-4.20.(v)]):

Lemma 1.3 Sei P stetiger Bereich, und s, t seien einfache stetige Funktionen von P in einen stetigen Verband L. Dann ist s ≪ t genau dann, wenn für alle a im Bild von s eine offene Menge U in P existiert, so daß

s^{−1}(a) ⊆ U ≪ t^{−1}(↑ ↑ a)

Beweis: Gelte obige Bedingung. Wir zeigen, daß s ≪ t ist. Sei dazu t ≤ sup D für eine gerichtete Menge D stetiger Funktionen f : P → L. Sei a im Bild von s, dann existiert ein U_{a} ∈ O(P), so daß

s^{−1}(a) ⊆ U_{a}
≪ t^{−1}(↑ ↑ a)
⊆ (sup D)^{−1}(↑ ↑ a)
= ⋃_{f∈D} f^{−1}(↑ ↑ a)

und die letzte Vereinigung ist gerichtet. Also existiert eine Funktion f_{a} ∈ D, so daß s^{−1}(a) ⊆ f_{a}^{−1}(↑ ↑ a).

Da D gerichtet und das Bild von s endlich ist, existiert auch ein f ∈ D, so daß für alle a ∈ im(s) gilt s^{−1}(a) ⊆ f_{a}^{−1}(↑ ↑ a), also x ∈ f^{−1}(↑ ↑ s(x)) für alle x ∈ P, und dies ist äquivalent zu s(x) ≪ f(x).

Andererseits gelte s ≪ t. Jede einfache stetige Funktion hat eine Darstellung t = sup_{1,...n} t_{j}χ_{U_{j}}, mit t_{j} ∈ L und U_{j} ∈ O(P). Also gilt

s ≪ sup_{1,...n} sup {rχ_{W} | r ≪ t_{j}, W ≪ U_{j}}

Also existieren r_{j} ≪ t_{j} und W_{j} ≪ U_{j}, so daß s ≤ sup_{1,...n} r_{j}χ_{W_{j}}. Damit gilt

s^{−1}(a) ⊆ s^{−1}(↑ a)
⊆ (sup_{1,...n})^{−1}(↑ a)
= ⋃ {W_{j} | r_{j} ≥ a}
⊆ ⋃ {W_{j} | t_{j} ≫ a}
≪ ⋃ {U_{j} | t_{j} ≫ a}
= t^{−1}(↑ ↑ a)

Insbesondere ist \overline{IR}_{+} ein stetiger Verband, weshalb obiges Lemma als Charakterisierung der way–below Relation auf L(X) verwandt werden kann.

Wir können ferner schließen:

Proposition 1.3 Auf einem core–kompakten Raum X ist jede Funktion f ∈ L(X) gleich dem gerichteten Supremum aller einfachen Bewertungen weit unter f.

Beweis: Sei g ≪ f. Aus Lemma 1.2 folgt, daß g das gerichtete Supremum aller einfachen Bewertungen s ≤ f ist. Demnach ist

f = sup {s | ∃g ≪ f.s ≤ g}
= sup {s | s ≪ g}

Da L(X) ein Verband ist, ist diese Summe auch gerichtet.

1.6 Bewertungen auf topologischen Räumen

Wir hatten oben bereits den Begriff einer stetigen Bewertung auf einem topologischen Raum definiert. Man bemerke, daß nicht jedes Maß eine stetige Bewertung induziert, wenn man es auf O(X) einschränkt.

Beispiel 1.1 Sei dazu ω_{1} die erste überabzählbare Kardinalzahl und Ω_{1} die Menge aller Kardinalzahlen kleiner ω_{1}. Diese Menge hat selbst die Kardinalität ω_{1}, und jede echte Teilmenge ist höchstens abzählbar.

Wir betrachten nun die diskrete Topologie auf Ω_{1}, d.h. alle Mengen sind offen. Die Borelalgebra ist gleich O(Ω_{1}).

Wir definieren nun die Abbildung μ : O(Ω_{1}) → \overline{IR}_{+}, die einer Menge genau dann 0 zuordnet, wenn sie abzählbar ist, andernfalls 1. Dies ist ein Maß, da eine abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen wieder abzählbar ist.

Für ihre Einschränkung von μ auf die offenen Mengen gilt nun

μ( ⋃ {U ⊆ Ω_{1}|U abzählbar}) = μ(Ω_{1}) = 1

aber

sup {μ(U)|U ⊆ Ω_{1} abzählbar} = 0

Also ist μ zwar ein Maß, aber keine stetige Bewertung.

Uns werden unter anderem solche Bewertungen besonders interessieren, die als beschränkte Linearkombination von Punktbewertungen darstellbar sind. Um den Sprachgebrauch zu vereinfachen, wollen wir folgende Definition machen:

Definition 1.6 Sei X ein topologischer Raum. Eine Bewertung ξ : O(X) → \overline{IR}_{+} heiße einfach, falls sie als Linearkombination endlich vieler Punktbewertungen darstellbar ist, und ξ(X) < ∞.

Im folgenden soll für eine Darstellung ∑_{b∈B} r_{b}η_{b} stets stillschweigend r_{b} ≠ 0 für alle b ∈ B gelten.

Wir definieren nun — abweichend vom Gebrauch im ersten Abschnitt — den Raum V(X):

Definition 1.7 Sei X ein topologischer Raum. Dann bezeichnen wir mit V(X) die Menge aller Scott–stetigen Bewertungen μ : O(X) → [0, ∞].

Für diesen Raum gilt ein schwächeres Resultat als Satz 1.2:

Lemma 1.4 Für jeden topologischen Raum X ist V(X) ein Bereich.

Beweis: Sei D ⊆ V(X) gerichtet. Wir setzen für jede offene Menge U ∈ O(X)

μ(U) := sup_{ν∈D} ν(U)

Falls wir zeigen können, daß μ eine stetige Bewertung ist, ist es sicherlich die kleinste obere Schranke von D in V(X).

Das punktweise Supremum einer gerichteten Familie D stetiger Abbildungen in einen stetigen Verband (hier \overline{IR}_{+}) ist wieder stetig. Da ferner die Addition auf den reellen Zahlen Scott–stetig ist, bleibt die Modularität erhalten: Seien U, V offen in X und μ := sup D. Dann ist

μ(U) + μ(V) = sup_{ν∈D} ν(U) + sup_{ν∈D} μ(V)
= sup_{ν∈D}(ν(U) + ν(V))
= sup_{ν∈D}(ν(U ∩ V) + ν(U ∪ V))
= sup_{ν∈D} ν(U ∩ V) + sup_{ν∈D} μ(U ∪ V)
= μ(U ∩ V) + μ(U ∪ V)

Schließlich wird ∅ sicherlich auch auf 0 abgebildet, da das Supremum punktweise gebildet wird.

Einfache Bewertungen

In diesem Abschnitt werden wir uns mit den Eigenschaften der einfachen Bewertungen beschäftigen. Zunächst stellen wir fest, daß die Darstellung einfacher Bewertung als Linearkombination von Punktbewertungen eindeutig ist:

Lemma 2.1 Sei X ein T_{0}-Raum. Seien B, C endliche Teilmengen von X, und (r_{b})_{b∈B}, (s_{c})_{c∈C} positive reelle Zahlen. Ist ∑_{b∈B} r_{b}η_{b} = ∑_{c∈C} s_{c}η_{c}, dann ist B = C und r_{b} = s_{b} für alle b ∈ B.

Beweis: Über Induktion über n := max{|A|, |B|}. Für n = 1 ist der Sachverhalt klar.

Sei nun max{|B|, |C|} = n + 1. Wähle ein maximales c_{0} ∈ B ∪ C, welches oBdA aus C sei. Wegen der T_{0}–Eigenschaft von X existiert eine offene Umgebung U von c_{0}, so daß ((B ∪ C) \ {c_{0}}) ∩ U = ∅. Es gilt damit s_{c_{0}} = ∑_{b∈B} r_{b}η_{b}(U), d.h. es existiert ein b_{0} ∈ B, so daß η_{b_{0}}(U) ≠ 0. Dann muß aber auch schon c_{0} = b_{0} sein, und r_{b_{0}} = s_{c_{0}}. Aus der Induktionsannahme folgt das Gewünschte.

Der folgende Satz besagt, daß die Punktbewertungen gerade diejenigen sind, deren Bild nur 0 und 1 enthält.

Lemma 2.2 Sei X ein nüchterner Raum, und μ eine stetige Bewertung, deren Bild nur die Werte 0 und 1 enthält. Dann existiert ein x ∈ X, so daß μ = η_{x} ist.

Beweis: Sei N := μ^{−1}(0). Dies ist ein Verband, da für U, V ∈ N wegen der Modularität folgt

0 = μ(U) + μ(V)
= μ(U ∩ V) + μ(U ∪ V)

also U ∩ V, U ∪ V ∈ N. Da μ stetig ist, ist die Vereinigung jeder gerichteten Familie D ⊆ N wieder in N. Insbesondere ist W := ⋃ N ∈ N.

Sei nun W := ⋃ N. Diese Menge ist prim in O(X), da für offene Mengen U, V mit U ∩ V ∈ N gilt

μ(U) + μ(V) = μ(U ∩ V) + μ(U ∪ V)
= μ(U ∪ V)
≤ 1

Also ist μ(U) = 0 oder μ(V) = 0, d.h. U ⊆ W oder V ⊆ W.

In einem nüchternen Raum ist eine offene Menge aber genau dann prim, wenn sie Komplement eines Punktabschlusses ist. Also existiert ein x ∈ X, so daß W = X \ \overline{\{x\}}. Damit ist N = {V | x ∉ V } = η_{x}^{−1}(0). Also ist μ = η_{x}.

Die Frage, die sich sofort ergibt, ist, ob sich nun auch die einfachen Bewertungen ähnlich charakterisieren lassen: nämlich als diejenigen Bewertungen, deren Bild endlich ist. Unglücklicherweise zeigt aber das folgende Lemma, daß im allgemeinen eine Nebenbedingung notwendig ist, um sicherzustellen, daß eine Bewertung mit endlichem Bild eine einfache Bewertung ist:

Lemma 2.3 Sei X ein nüchterner topologischer Raum, und μ : O(X) → IR_{+} Bewertung mit endlichem Bild. Genau dann ist μ Linearkombination von Punktbewertungen, wenn μ stetig ist und folgende Bedingung erfüllt: Sei F ⊆ O(X) Filter, und ⋂ F offen; eine solche Menge werde im folgenden O-Filter genannt. Dann gilt

μ(⋂ F) = inf_{u∈F} μ(u)

Beweis: “⇒“: Sei zunächst μ = η_{x} für ein x ∈ X. Für einen O–Filter F ist η_{x}(⋂ F) = 0 genau dann, wenn ein O ∈ F existiert, so daß x ∉ O. Das ist aber gleichwertig zu η_{x}(O) = 0.

Sei μ = ∑_{1}^{n} s_{i}η_{x_{i}}. Dies ist sicher Scott-stetig. Ferner erhält es Infima von O–Filtern, da die Addition auf den reellen Zahlen gefilterte Infima erhält.

“⇐“: Wir wollen einen Induktionsbeweis über die Mächtigkeit des Bildes führen, indem wir die Bewertung in μ = ν + α_{1}η_{x_{1}} + … + α_{m}η_{x_{m}} zerlegen.

Es gilt allgemein η_{x} = χ_{O(X)\↓(X\\overline{\{x\}})}, wobei χ_{U} die charakteristische Funktion der

Menge U ⊆ O(X) bezeichne. O(X)\ ↓ (X \\overline{\{x\}}) ist das Komplement des Scott–Abschlusses von X \ \overline{\{x\}}. In einem nüchternen Raum entsprechen die Komplemente von Punktabschlüssen aber gerade den primen Elementen des Verbandes O(X). Damit μ einfache Bewertung sein kann, muß A := μ^{−1}(0) also endlicher Durchschnitt der Form ⋂_{1}^{n} O(X)\ ↓ p_{k} sein, p_{k} prim in O(X). Wir versuchen zunächst, diese p_{k} zu finden.

Sei A := μ^{−1}(0). Das ist abgeschlossen bezüglich gerichteter Vereinigungen, und für u, v ∈ A folgt u ∪ v ∈ A aus Modularität und Monotonie der Abbildung.

Damit ist γ := sup A ∈ A. Ist γ prim, so ist A von der gewünschten Form. Nehmen wir also an, γ sei nicht prim, wir müssen nun zeigen, daß γ Infimum von endlich vielen Primelementen ist.

Sei dazu H := Spec O(X)∩ ↑ γ, wobei Spec L das Spektrum des Verbandes L bezeichne, d.h. die Menge der primen Elemente ungleich 1_{L}. In einem vollständigen Verband ist Spec O(X) stets abgeschlossen gegen gefilterte Infima, also auch H. Nach dem Zorn’schen Lemma liegt also unter jedem p ∈ H ein minimales q ∈ H. Die Menge der minimalen Elemente sei H_{min}.

Da μ O–Filter erhält, ist

inf {μ( ⋂ P) | P ⊆ H_{min}, P endlich} = μ( ⋂ H_{min}) = μ(γ) = 0.

Da das Bild von μ endlich ist, muß bereits für eine endliche Teilmenge P ⊆ H_{min} gelten μ(⋂ P) = 0, d.h. ⋂ P = γ.

Wäre jetzt H_{min} ≠ P, so gäbe es ein q ∈ H_{min} \ P, und es wäre q ⊇ ⋂ P. Da q prim, müßte es dann auch ein p ∈ P geben, so daß p ⊆ q, und dies steht im Widerspruch zur Minimalität von q.

Also ist H_{min} =: {p_{1}, …, p_{m}} endlich, und A = ⋂_{1}^{m} ↓ p_{k}. Da X nüchtern ist, existiert zu jedem k ein x_{k} ∈ X, so daß p_{k} = X \ \overline{\{x_{k}\}}. Damit gilt für alle offenen Mengen U genau dann μ(U) ≠ 0, wenn U ⊈ A, d.h. wenn ein x_{k} existiert, so daß x_{k} ∈ U.

Da die p_{k} untereinander unvergleichbar sind, ist w_{k} := ⋂_{j≠k} p_{j} für jedes k eine offene Umgebung von x_{k}, die keines der anderen x_{j} enthält.

Unsere Hoffnung ist nun, daß die zu diesen Punkten gehörigen Punktbewertungen als Summanden in μ auftauchen. Nehmen wir an, μ ließe sich vollständig zerlegen, die Punkte seien z_{1}, …, z_{n}. Weil wir die p_{k} minimal gewählt hatten, müßte sich auch für jedes x_{k} eine Umgebung finden lassen, die keinen der anderen Punkte z_{j} enthält. Deshalb muß die Masse des Punktes x_{k} gleich dem minimalen Funktionswert sein, für den η_{x_{k}} noch einen Beitrag zu μ liefert.

Definiere also für alle k = 1, …, m

α_{k} := min {μ(u) | u ∈ O(X)\ ↓ p_{k}}
= min {μ(u) | x_{k} ∈ u}

Das ist wohldefiniert, da μ endliches Bild hat. Sei nun

ν(u) := μ(u) − ∑_{1}^{m} α_{k}η_{x_{k}}(u).

ν ist sicherlich modular und strikt. Zu zeigen bleibt, daß es monoton und stetig ist und O–Filter erhält.

Beweis der Monotonie: Seien u ⊆ v ∈ O(X). k_{1}, …, k_{n} seien diejenigen Indizes, für die x_{k_{j}} ∈ v\u. Wir müssen nun zeigen, daß sich μ in u und v um mindestens die “Massen” dieser Punkte unterscheidet, d.h. μ(v) − μ(U) ≥ ∑_{j=1}^{n} α_{k_{j}}. Die Vorstellung ist, offene Mengen zwischen u und v zu finden, die jeweils einen dieser Punkte zusätzlich enthalten und sich um genau dessen Masse von u unterscheiden.

Oben hatten wir festgestellt, daß für alle k eine Umgebung w_{k} von x_{k} existiert, die keinen der Punkte x_{1}, … x_{k−1}, x_{k+1}, … x_{m} enthält. Nach der Definition von α_{k} können diese sogar so gewählt werden, daß μ(w_{k}) = α_{k} ist. Ferner kann man sie so wählen, daß für alle j = 1, …, n gilt w_{k_{j}} ⊆ v.

Ebenso enthält der Durchschnitt w_{k_{j}} ∩u keinen der Punkte x_{1}, …, x_{m}, denn w_{k_{j}} enthält nur x_{k_{j}}, aber x_{k_{j}} ∉ u. Also ist μ(u ∩ ⋃_{1}^{n} w_{k_{j}}) ≤ ∑_{1}^{n} μ(u ∩ w_{k_{j}}) = 0.

Ferner gilt für alle i < j, daß w_{k_{i}} ∩ w_{k_{j}} keinen der Punkte x_{1}, …, x_{m} enthält, also ist μ(w_{k_{j}} ∩ ⋃_{i=1}^{j−1} w_{k_{i}}) = 0.

Damit folgt

μ(⋃_{i=1}^{n} w_{k_{i}}) = μ(w_{k_{n}}) + μ( ⋃_{i=1}^{n−1} w_{k_{i}}) − \underbrace{μ(w_{k_{n}} ∩ ⋃_{i=1}^{n−1} w_{k_{i}})}_{=0}

= ∑_{i=1}^{n} μ(w_{k_{i}})

Es gilt damit

μ(v) ≥ μ(u ∪ ⋃_{1}^{n} w_{k_{i}})
= μ(u) + μ(⋃_{1}^{n} w_{k_{i}}) − \underbrace{μ(u ∩ ⋃_{1}^{n} w_{k_{i}})}_{=0}

= μ(u) + μ(⋃_{1}^{n} w_{k_{i}})
= μ(u) + ∑_{1}^{n} μ(w_{k_{i}})
= μ(u) + ∑_{1}^{n} α_{k_{i}}

also

ν(v) − ν(u) = μ(v) − ∑_{1}^{m} α_{k}η_{x_{k}}(v) − μ(u) + ∑_{1}^{m} α_{k}η_{x_{k}}(v)
≥ ∑_{1}^{n} α_{k_{i}} − ∑_{1}^{m} α_{k}(η_{x_{k}}(v) − η_{x_{k}}(u))
= 0.

Beweis der Scott–Stetigkeit: Sei (v_{i})_{i∈I} ⊆ O(X) gerichtet. Ist x_{k} ∈ ⋃_{i∈I} v_{i} für ein k, so existiert bereits ein i_{k} ∈ I mit x_{k} ∈ v_{i_{k}}. Sei ṽ die Vereinigung dieser v_{i_{k}}, dann gilt η_{x_{k}}(⋃ v_{i}) = η_{x_{k}}(ṽ).

ν(⋃ v_{i}) = μ(⋃ v_{i}) − ∑_{1}^{m} α_{k}η_{x_{k}}(⋃ v_{i})
= sup μ(v_{i}) − ∑_{1}^{m} α_{k}η_{x_{k}}(tildev)
≤ sup(μ(v_{i}) − ∑_{1}^{m} α_{k}η_{x_{k}}(tildev))
= sup(μ(v_{i}) − ∑_{1}^{m} α_{k}η_{x_{k}}(v_{i}))
= sup ν(v_{i})

Die umgekehrte Ungleichung folgt aus der Monotonie.

Erhalt gefilterter offener Schnitte: Sei F ⊆ O(X) gefiltert und ⋂ F offen. Ist η_{x_{k}}(⋂ F) = 0 für ein k, so muß bereits ein O_{k} ∈ F existieren, so daß η_{x_{k}}(O_{k}) = 0 ist. Da F gefiltert ist, existiert demzufolge ein Õ ∈ F, so daß η_{x_{k}}(⋂ F) = η_{x_{k}}(Õ), und deswegen ist

inf_{O∈F} ν(O) = inf_{O∈F}(μ(O) − ∑_{1}^{n} α_{k}η_{x_{k}}(Õ))
= μ(⋂ F) − ∑_{1}^{n} α_{k}η_{x_{k}}(⋂ F)
= ν(⋂ F)

Induktionsschritt: Wir beweisen nun, daß die Mächtigkeit des Bildes von ν echt kleiner ist als die von μ. Wir werden dazu das Bild von ν in das von μ einbetten und zeigen, daß letzteres mindestens einen weiteren Wert enthält.

Wir zeigen, daß ν(⋃_{k=1}^{m} w_{k}) = 0 gilt. Die w_{k} waren aber so gewählt, daß x_{k} ∈ w_{k} und μ(w_{k}) = min {μ(u) | x_{k} ∈ u} = a_{k}, Also gilt

ν(w_{k}) = μ(w_{k}) − ∑_{i=1}^{m} α_{i}η_{x_{i}}(w_{k})
= μ(w_{k}) − α_{k}
= μ(w_{k}) − μ(w_{k})
= 0

Daraus folgt unmittelbar ν(⋃_{k=1}^{m} w_{k}) = 0.

Wir zeigen, daß für jedes a im Bild von ν der Wert a + ∑_{k=1}^{m} α_{k} im Bild von μ liegt. Da die Summe ungleich Null ist, aber das Bild von μ außerdem 0 enthält, haben wir gezeigt, daß es echt größer ist als das Bild von ν.

Sei nun a im Bild von ν. Zunächst existiert ein u ∈ O(X) mit ν(u) = a. Es folgt

μ(u ∪ ⋃_{1}^{m} w_{k}) = μ(u ∪ ⋃_{1}^{m} w_{k}) + ∑_{i=1}^{m} α_{i}η_{x_{i}}(u ∪ ⋃_{1}^{m} w_{k})
= a + ∑_{k=1}^{m} α_{k}

Leider habe ich bisher noch kein Beispiel einer Bewertung mit endlichem Bild gefunden, die nicht Linearkombination endlich vieler Punktbewertungen ist.

Es folgen zwei Sätze, die bereits von C. Jones bewiesen wurden (siehe [7], Theorem 4.19 und Lemma 4.12).

Satz 2.1 (Splitting Lemma) Für zwei einfache Bewertungen ξ und χ gelte

ξ = ∑_{b∈B} r_{b}η_{b} ≤ ∑_{c∈C} s_{c}η_{c} = χ

Dann existieren t_{b,c} ∈ IR_{+} so, daß t_{b,c} ≠ 0 nur, falls b ≤ c, und so daß gilt

∑_{c∈C} t_{b,c} = r_{b}
∑_{b∈B} t_{b,c} ≤ s_{c}

Lemma 2.4 Für zwei einfache Bewertungen ξ und χ gelte

ξ = ∑_{b∈B} r_{b}η_{b} ≪ ∑_{c∈C} s_{c}η_{c} = χ

Dann existieren t_{b,c} ∈ IR_{+} so, daß t_{b,c} ≠ 0 nur, falls b ≪ c, und so daß gilt

∑_{c∈C} t_{b,c} = r_{b}
∑_{b∈B} t_{b,c} < s_{c}

Für die way-below-Relation zwischen zwei einfachen Bewertungen folgt insbesondere

Lemma 2.5 Sei ξ = ∑_{b∈B} r_{b}η_{b} einfache Bewertung. Zu jedem b ∈ B wähle man b′ ∈ X mit b′ ≪ b, und s_{b} < r_{b}. Dann ist χ := ∑_{b∈B} s_{b}η_{b′} ≪ ξ.

Beweis: Sei D eine gerichtete Menge von Bewertungen mit sup D = ξ. Dann gilt für jedes K ⊆ B

sup_{ϕ∈D} ϕ( ⋃_{b∈K} ↑ ↑ b′) ≥ ∑_{b∈K} r_{b} > ∑_{b∈K} s_{b}

Daher existiert auch ein ϕ_{K} ∈ D mit ϕ_{K}(⋃_{b∈K} ↑ ↑ b′) ≥ ∑_{b∈K} s_{b}. Die gemeinsame obere Schranke ϕ ∈ D dieser ϕ_{K} erfüllt dann für alle U ∈ O(X)

ϕ(U) ≥ ϕ( ⋃_{b′∈U} ↑ ↑ b′)
≥ ∑_{b′∈U} s_{b}
= ∑_{b∈B} s_{b}η_{b′}(U)
= χ(U)

Endlich additive Fortsetzungen von Bewertungen

Sei μ : O(X) → \overline{IR}_{+} eine Bewertung auf einem topologischen Raum X. Wir wollen nun untersuchen, inwieweit sich μ auf die von O(X) erzeugte Boolesche Algebra F(X) fortsetzen läßt. Für den Fall, daß μ beschränkt ist, wurde dies bereits von Pettis in [13] bewiesen. Wir führen hier allerdings den Beweis selber, weil wir die wesentlichen Aussagen auch benötigen, um eine Aussage über unbeschränkte Bewertungen machen zu können.

Wir wollen μ nun zunächst auf die von gewissen endlichen Unterverbänden erzeugten Booleschen Algebren fortsetzen. Daraus kann man eine eindeutige Fortsetzung auf die von den offenen Mengen endlichen Maßes erzeugte Algebra gewinnen und im folgenden Schritt eine im allgemeinen nicht eindeutig bestimmte Fortsetzung auf die gesamte Algebra F(X).

3.1 Die Fortsetzung beschränkter Bewertungen

Für den Fall, daß μ beschränkt ist, scheint die Frage zunächst einfach zu beantworten: Jeder Menge U \ V mit U, V ∈ O(X) ordnet man den Wert μ̄(U \ V) := μ(U) − μ(U ∩ V) zu; die Differenz ist wohldefiniert, da der Subtrahend stets endlich ist. Allerdings muß man zeigen, daß die so erklärte Abbildung von der Wahl der Darstellung von U \ V unabhängig ist.

Definition 3.1 Sei L ein distributiver Mengenverband. Dann bezeichne ⟨L⟩ den von L frei erzeugte Boolesche Ring, d.h. den kleinsten L enthaltenden Mengenverband, der alle relativen Komplemente von Mengen in L enthält, und 1_{L} sei das größte Element von L. Spec L bezeichne die Menge der schnitt–irreduziblen (i.e. primen) Elemente in L, die ungleich 1_{L} sind, und Coprim L die Menge der vereinigungs–irreduziblen (i.e. koprimen) Elemente.

Ist B ein Boolescher Ring, so bezeichne Atom B die Menge der Atome von B.

Im folgenden wollen wir L zunächst als endlichen Unterverband von O(X) wählen. Natürlich besitzt ⟨L⟩ in jedem Fall ein größtes Element und ist daher eine Boolesche Algebra. Wir sprechen hier aber deswegen nicht von der “von L erzeugten Booleschen Algebra,” um anzudeuten, daß es sich bei diesem Einselement nicht um das Einselement von O(X) handelt, sondern um das größte Element in L.

Im folgenden wollen wir die Atome von ⟨L⟩ durch die koprimen Elemente von L charakterisieren. Ein Element x eines endlichen distributiven Verbandes L ist genau dann koprim, wenn es genau einen unteren Nachbarn x_{∗} besitzt. Besäße es keinen solchen, wäre es das endliche Supremum seiner unteren Nachbarn, was der Irreduzibilität widerspricht. Andererseits ist jedes solche Element koprim.

Lemma 3.1 Sei X ein nüchterner Raum und L endlicher Unterverband von O(X). Dann gilt

(i) Alle Elemente z ∈ ⟨L⟩ können als disjunkte Vereinigungen der Form ⋃_{i=1}^{n} u_{i} \ v_{i} mit gewissen u_{i}, v_{i} ∈ Ł dargestellt werden. Insbesondere kann v_{i} ⊆ u_{i} gewählt werden.

(ii) Atom ⟨L⟩ = {x \ x_{∗} | x ∈ Coprim L}

(iii) Jedes z ∈ ⟨L⟩ ist eindeutig als Supremum von Atomen darstellbar.

Beweis: Sicherlich ist B := {⋃_{i=1}^{n} u_{i} \ v_{i} | u_{i}, v_{i} ∈ L} ein L enthaltender Boolescher Ring. Ist B′ ⊇ L ein beliebiger Boolescher Ring, so sind alle relativen Komplemente u \ v von Elementen in L auch in B′, ebenso deren endliche Vereinigungen. Somit folgt B ⊆ B′, d.h. B ist der kleinste L enthaltende Boolesche Ring: B = ⟨L⟩.

Da u \ v = u \ (u ∩ v), kann man oBdA v ⊆ u wählen. Ferner gilt

(u \ v) ∪ (s \ t) = (u \ (v ∪ s)) ⊎ (s \ (t ∪ u)) ⊎ ((u ∩ s) \ (v ∪ t)),

d.h. die Vereinigung läßt sich disjunkt schreiben. Daher gilt (i).

Sei a Atom von ⟨L⟩. Dann hat a sicher die Form u \ v mit u, v ∈ L. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir v ⊆ u wählen. Sei nun w ⊆ u, dann ist a = u \ v ⊆ (u \ w) ⊎ (w \ v). Da a Atom ist, folgt entweder w \ v = ∅, d.h. w ⊆ v, oder u \ w = ∅ und damit u = w. Daraus folgt, daß v einziger unterer Nachbar von u ist, demzufolge ist u Vereinigungs–irreduzibel und a von der gewünschten Form.

Umgekehrt ist jedes Element u \ u_{∗} für u ∈ Coprim L ein Atom in ⟨L⟩. Sei u \ u_{∗} = ⋃_{i=1}^{n} u_{i} \ v_{i}, wobei oBdA v_{i} ⊆ u_{i} sei. Mit u = u_{∗} ∪ ⋃_{1}^{n} u_{i} folgt sofort, daß ein i existiert, so daß u = u_{i} ist. Wegen v_{i} ⊆ u_{i} gilt dann auch v_{i} ⊆ u_{∗}, und deswegen u \ u_{∗} ⊆ u_{i} \ v_{i}, d.h. es handelt sich hier um ein Atom. Damit ist (ii) bewiesen.

Aussage (iii) gilt für jede endliche Boolesche Algebra.

Definition 3.2 Sei μ Bewertung auf einem topologischen Raum X. Als endlicher Träger werde die Menge dom_{μ} := {O ∈ O(X) | μ(O) < ∞} bezeichnet.

Der von dom_{μ} erzeugte Boolesche Ring sei mit F_{0}(X) bezeichnet.

Bemerkung 3.1 dom_{μ} ist ein Ideal des Verbandes O(X), denn Vereinigungen endlich vieler Mengen endlichen Maßes haben aufgrund der Modularität wieder endliches Maß, und wegen der Monotonie von μ ist dom_{μ} ein Anfangsstück.

Lemma 3.2 Sei X ein nüchterner Raum, μ : O(X) → \overline{IR}_{+} eine Bewertung. L ≤ M seien endliche Unterverbände von O(X), auf denen μ nur endliche Werte annimmt. Dann gilt

(i) μ_{L} läßt sich eindeutig zu einer additiven Abbildung μ̄_{L} : ⟨L⟩ → IR_{+} fortsetzen.

(ii) Es gilt μ̄_{M}_{|⟨L⟩} = μ̄_{L}.

Beweis: Wir setzen für u \ u_{∗} ∈ Atom ⟨L⟩

μ̄_{L}(u \ u_{∗}) := μ(u) − μ(u_{∗}) (3.1)

und setzen dies für t ∈ ⟨L⟩ fort zu

μ̄_{L}(t) := ∑ {μ̄_{L}(a)|a ∈ Atom ⟨L⟩∩ ↓ t}

Definitionsgemäß gilt μ̄_{L}(∅) = 0. Jedes Element von ⟨L⟩ ist eindeutig darstellbar als endliches Supremum von Atomen, weshalb μ̄_{L} wohldefiniert ist.

Für disjunkte s, t ∈ ⟨L⟩ gilt

(Atom ⟨L⟩∩ ↓ s) ⊎ (Atom ⟨L⟩∩ ↓ t) = Atom ⟨L⟩∩ ↓ (s ∪ t)

aufgrund der Definition von Atomen, d.h. μ̄_{L}(s ∪ t) = μ̄_{L}(s) + μ̄_{L}(t). Damit ist μ̄_{L} additiv.

Sei nun u ∈ L. Wir wollen zeigen, daß μ̄_{L}(u) = μ(u) ist. Dazu führen wir einen Induktionsbeweis über die Anzahl n_{u} der Atome kleiner gleich u.

Ist n_{u} = 0, so ist u = ∅, und es ist nichts zu beweisen.

Sei nun n_{u} ≥ 1. Dann ist die Menge der koprimen Elemente kleiner gleich u wegen Lemma 3.1 nichtleer. Sicherlich ist u die Vereinigung der koprimen p ≤ u. Wähle ein maximales p ∈ Coprim L∩ ↓ u, setze w := ⋃((Coprim L∩ ↓ u) \ {p}). Es folgt

μ(u) = μ(w ∪ p)
= μ(w) + μ(p) − μ(w ∩ p)
= μ(w) + μ(p) − μ(w ∩ p_{∗})  (da w ∩ p ≠ p ⇒ w ∩ p ⊆ p_{∗})
= μ(w ∪ p_{∗}) + μ(p) − μ(p_{∗})
= μ(w ∪ p_{∗}) + μ̄_{L}(p \ p_{∗})
= μ̄_{L}(w ∪ p_{∗}) + μ̄_{L}(p \ p_{∗})  (n. Induktionsvors.)
= μ̄_{L}(w ∪ p)
= μ̄_{L}(u)

Es folgt sofort, daß für alle u \ v ∈ ⟨L⟩ gelten muß

μ̄_{L}(u \ v) = μ(u) − μ(u ∩ v).

Da sicherlich jede Fortsetzung von ν auf ⟨L⟩ die Bedingung ν(u \ v) = μ(u) − μ(u ∩ v) erfüllen muß, ist μ̄_{L} also eindeutig bestimmt.

Ist L Unterverband von M, so ist μ̄_{M} eingeschränkt auf L natürlich gleich μ. Da die Fortsetzung auf ⟨L⟩ eindeutig war, muß μ̄_{M}_{|⟨L⟩} = μ̄_{L} sein.

Lemma 3.3 X sei ein nüchterner Raum, μ eine Bewertung. Dann existiert eine eindeutig bestimmte additive Fortsetzung von μ auf den von dom_{μ} erzeugten Booleschen Ring F_{0}(X).

Beweis: Sei b ∈ F_{0}(X), dann ist b disjunkte Vereinigung der Form ⋃_{i=1}^{n} u_{i} \ v_{i}, mit offenen Mengen u_{i}, v_{i}. Wähle nun L als den von {u_{1}, … u_{n}, v_{1}, … v_{n}} erzeugten Verband, dann ist b ∈ ⟨L⟩. Also ist

F_{0}(X) = ⋃ {⟨L⟩ | L ≤ dom_{μ}} .

Seien zunächst b ≤ c ∈ F_{0}(X), und L, M seien Unterverbände von dom_{μ}, deren Erzeugnisse ⟨L⟩ und ⟨M⟩ jeweils b bzw c enthalten. Sei N der von L ∪ M erzeugte Verband, dann gilt

μ̄_{L}(b) = μ̄_{N}(b) ≤ μ̄_{N}(c) = μ̄_{M}(c). (3.2)

Hieraus folgt zuerst, daß der Wert von b unabhängig von der Wahl des Verbandes L, also der Darstellung, ist. Denn ist ⋃_{1}^{m} s_{j} \ t_{j} mit s_{j}, t_{j} ∈ dom_{μ} eine weitere Darstellung von b, und L′ der von {s_{1}, … s_{m}, t_{1}, … t_{m}} erzeugte Verband, dann gilt nach Gleichung (3.2) μ̄_{L}(b) = μ̄_{L′}(b).

Also ist der Wert μ̄(b) von der Darstellung von b unabhängig. Wir können daher definieren:

μ̄(b) := μ̄_{L}(b) falls b ∈ L

Da μ̄_{L} auf ⟨L⟩ eindeutig bestimmt war, ist auch μ̄ eindeutig bestimmt.

Ferner besagt Gleichung (3.2), daß μ̄ monoton ist.

Zum Beweis der Additivität betrachte man a, b ∈ F_{0}(X) mit a ∩ b = ∅. Wieder gibt es einen endlichen Verband N ≤ dom_{μ}, so daß a, b ∈ ⟨N⟩. Dann ist auch a ∩ b ∈ ⟨N⟩, und dort gilt

μ̄(a ∪ b) = μ̄_{N}(a ∪ b)
= μ̄_{N}(a) + μ̄_{N}(b)
= μ̄(a) + μ̄(b).

Es folgt

Korollar 3.1 Jede endliche Bewertung μ auf einem endlichen Bereich mit der Scott– Topologie ist einfache Bewertung.

Beweis: In einem endlichen Poset liegen die einpunktigen Mengen in F(X), denn

{x} =↑ x \ ⋃_{y>x} ↑ y,

und die Mengen ↑ y sind offen. (Genaugenommen sind die einpunktigen Mengen gerade die Atome von F(X)). Insbesondere gilt dann für jede offene Menge U

μ(U) = ∑_{x∈U} μ̄({x})
= ∑_{x∈X} μ̄({x})η_{x}(U)

Wir können hiermit feststellen:

Satz 3.1 Jede beschränkte stetige Bewertung auf einem topologischen Raum X läßt sich eindeutig zu einer additiven Abbildung auf die von O(X) erzeugte Boolesche Algebra F(X) fortsetzen.

Beweis: Der Satz folgt unmittelbar aus obigem Lemma 3.3 und der Tatsache, daß dom_{μ} bereits alle offenen Mengen umfaßt.

Die Fortsetzung auf den Booleschen Ring F_{0}(X) hat folgende Stetigkeits–Eigenschaft:

Lemma 3.4 Sei D ⊆ O(X) gerichtet, t ∈ O(X), und es gelte μ(⋃ D) < ∞. Dann folgt

μ̄(⋃ D \ t) = sup_{s∈D} μ̄(s \ t).

Beweis: Es gilt

μ( ⋃_{s∈D} s) = sup_{s∈D} μ(s)
= sup_{s∈D}(μ̄(s \ t) + μ(s ∩ t))
= sup_{s∈D} μ̄(s \ t) + sup_{s∈D} μ(s ∩ t)  weil die Addition Scott–stetig ist
= sup_{s∈D} μ̄(s \ t) + μ( ⋃_{s∈D} s ∩ t)

Der zweite Summand ist endlich, und wir können ihn subtrahieren. Damit folgt

sup_{s∈D} μ̄(s \ t) = μ( ⋃_{s∈D} s) − μ( ⋃_{s∈D} s ∩ t)
= μ̄( ⋃_{s∈D}(s \ t))

3.2 Die Fortsetzung unbeschränkter Bewertungen

Die Schwierigkeit im Falle unbeschränkter Bewertungen liegt nun darin, welchen Wert man den Elementen b ∈ F(X) \ F_{0}(X) zuordnet. Es genügt hierbei zunächst, Elemente u \ v zu betrachten, für die u unendliches Maß hat.

Ist das Maß von v endlich, so muß aufgrund der gewünschten Additivität μ̄(u \ v) = ∞ sein. Haben allerdings sowohl u als auch v unendliches Maß, so können wir u \ v möglicherweise unterschiedliche Werte zuordnen.

Satz 3.2 Jede Bewertung auf einem nüchternen Raum läßt sich zu einer additiven monotonen Abbildung auf die von den offenen Mengen erzeugten Booleschen Algebra F(X) fortsetzen. Es gibt jeweils eine größte und eine kleinste Fortsetzung.

Beweis: Definiere für b = ⨄_{1}^{n} s_{i} \ t_{i}

ν_{min}(b) := \{ \begin{matrix}∑ & {n \atop i=1} & sup & \{μ̄(w \ t_{i}) | w ∈↓ s_{i} ∩ dom_{μ}\} \\ μ̄(b) \end{matrix} falls b ∉ F_{0}(X) sonst

ν_{max}(b) := \{ \begin{matrix}∞ \\ μ̄(b) \end{matrix} falls b ∉ F_{0}(X) sonst

Dabei ist w ∈ dom_{μ}∩ ↓ s_{i} genau dann, wenn μ(w) < ∞ und w ⊆ s_{i}

ν_{max} ist sicherlich wohldefiniert und additiv. Wir zeigen im folgenden die Wohldefiniertheit und Additivität von ν_{min}. Zudem sind beide Funktionen positiv; eine positive additive Funktion auf einer booleschen Algebra ist aber immer monoton.

Wir benötigen zuerst die Wohldefiniertheit von ν_{min}. Wir betrachten dazu zunächst u \ v = ⋃_{1}^{n} s_{i} \ t_{i} ∈ F(X), wobei oBdA v ⊆ u, t_{i} ⊆ s_{i} ⊆ u gelte. Wir müssen zeigen, daß ν_{min} beiden Darstellungen denselben Wert zuordnet. Zunächst folgt

∑ sup {μ̄(w \ t_{i}) | w ∈↓ s_{i} ∩ dom_{μ}} = sup { ∑_{1}^{n} μ̄(w_{i} \ t_{i})|w_{i} ∈↓ s_{i} ∩ dom_{μ}}
= sup {μ̄(⋃_{1}^{n} w_{i} \ t_{i})|w_{i} ∈↓ s_{i} ∩ dom_{μ}}

Wir müssen nun zeigen, daß die rechte Seite gleich ν_{min}(u \ v) ist. Sei dazu w ∈↓ u ∩ dom_{μ}. Wir setzen w_{i} := w ∩ s_{i}, und es gilt

w \ v = w ∩ (u \ v) = w ∩ ⋃_{1}^{n} s_{i} \ t_{i} = ⋃_{1}^{n} w_{i} \ t_{i}

Andererseits seien w_{1}, …, w_{n} gegeben, so daß w_{i} ∈↓ s_{i} ∩ dom_{μ}; dann bilden wir w := ⋃_{1}^{n} w_{i} ⊆ u, und es gilt

⋃_{1}^{n} w_{i} \ t_{i} = ⋃_{1}^{n} w ∩ (s_{i} \ t_{i}) = w ∩ (u \ v) = w \ v

Damit können wir nun folgern, daß

∑_{i=1}^{n} sup {μ̄(w \ t_{i}) | w ∈↓ s_{i} ∩ dom_{μ}} = sup {μ̄(w \ v) | w ∈↓ u ∩ dom_{μ}} (3.3)

Um die Wohldefiniertheit zu zeigen, sei nun ⋃_{1}^{n} u_{i} \v_{i} = ⋃_{1}^{m} u′_{j} \v′_{j}. Wir bilden s_{ij} := u_{i} ∩u′_{j} und t_{ij} := v_{i} ∪ v′_{j} und wenden obige Gleichung (3.3) auf u_{i} \ v_{i} = ⋃_{j=1}^{m} s_{ij} \ t_{ij} und u′_{i} \ v′_{i} = ⋃_{i=1}^{n} s_{ij} \ t_{ij} an.

Die Additivität folgt nun unmittelbar aus der Definition.

Daß es sich bei ν_{min} und ν_{max} um die größte beziehungsweise kleinste mögliche Fortsetzung handelt, ist offensichtlich.

Hilfssatz 3.1 Sei X ein core–kompakter Raum (d.h. O(X) sei stetig) und μ eine stetige Bewertung auf O(X). Dann erfüllt die im obigen Satz definierte Fortsetzung ν_{min} von μ für alle offenen Mengen u, v ∈ O(X)

ν_{min}(u \ v) = sup {μ̄(s \ v) | s ∈ ↓ ↓ u ∩ dom_{μ}} (3.4)

Beweis: Seien u, v offen. Dann gilt

ν_{min}(u \ v) = sup {μ̄(w \ t) | w ∈↓ u ∩ dom_{μ}}
= sup {μ̄( ⋃ ↓ ↓ w \ v)|w ∈↓ u ∩ dom_{μ}}
= sup { sup_{s≪w} μ̄(s \ v)|w ∈↓ u ∩ dom_{μ}} (wegen Lemma 3.4)
≤ sup {μ̄(s \ v)|s ∈ ↓ ↓ u ∩ dom_{μ}}

Die umgekehrte Ungleichung ist trivial.

Lemma 3.5 Sei X ein topologischer Raum und μ eine stetige Bewertung auf O(X). Die in Satz 3.2 definierte Fortsetzung ν_{min} erfüllt dann für alle gerichteten Mengen D ⊆ O(X) und für alle offenen Mengen t

ν_{min}( ⋃_{s∈D} s \ t) = sup_{s∈D} ν_{min}(s \ t) (3.5)

Beweis: Sei u := ⋃ D. Da ν_{min} monoton ist, ist die Ungleichung sup_{s∈D} ν_{min}(s \ t) ≤ ν_{min}(u \ t) trivialerweise richtig.

Zum Beweis der Umkehrung sei w ∈↓ u ∩ dom_{μ}. Dann ist w = ⋃_{s∈D}(w ∩ s), und w ∩ s ∈↓ s ∩ dom_{μ} für alle s ∈ D. Also ist wegen Lemma 3.4

μ̄(w \ t) = μ̄( ⋃_{s∈D}(w ∩ s) \ t)
= sup_{s∈D} μ̄((w ∩ s) \ t)
≤ sup_{s∈D} ν_{min}(s \ t),  und
ν_{min}(u \ t) = sup {μ̄(w \ t) | w ∈↓ u ∩ dom_{μ}}
≤ sup {ν_{min}(s \ t) | s ∈ D}

Es ist denkbar, daß die Fortsetzung in lokal quasikompakten Räumen mit lokal endlicher Bewertung bereits eindeutig bestimmt ist; beweisen konnte ich bisher nichts.

Integration stetiger Funktionen bezüglich einer Bewertung

In diesem Kapitel wollen wir das Integral einer positiven reellwertigen Funktion definieren und einige Eigenschaften beweisen. Normalerweise betrachtet man meßbare Funktionen von einem Maßraum in die erweiterten positiven reellen Zahlen. Dabei heißt eine Funktion meßbar, wenn das Urbild einer offenen Menge (bezüglich einer gegebenen Topologie auf \overline{IR}_{+}) in der Σ–Algebra liegt.

Im folgenden sei X ein topologischer Raum, und μ : O(X) → \overline{IR}_{+} eine stetige Bewertung.

Wie in Abschnitt 1.6 beschrieben, setzen wir die gewohnten Operationen — Addition und Skalarmultiplikation — auf \overline{IR}_{+} fort. Ferner betrachten wir die Scott–Topologie auf \overline{IR}_{+} und den vollständigen Verband L(X) aller halbstetiger Funktionen f : X → \overline{IR}_{+}.

Sei nun ein positives Maß μ auf einer Σ–Algebra auf X gegeben. Sollen alle stetigen Funktionen meßbar sein, muß die Σ–Algebra mindestens die Borel–Algebra enthalten, also insbesondere alle offenen Mengen. Es läßt sich aber zeigen, daß diese bereits ausreichen, um das Integral stetiger Funktionen zu charakterisieren: Sei dazu f : X ↦ \overline{IR}_{+} stetig. Nach Lemma 1.2 gilt

f = sup_{n∈IN} ∑_{i=1}^{n·2^{n}} 2^{−n}χ_{f^{−1}((i·2^{−n},∞])}.

Damit folgt aus Lebesgues Satz von der monotonen Konvergenz

∫ f dμ = sup_{n∈IN} ∑_{i=1}^{n·2^{n}} 2^{−n}μ(f^{−1}((i · 2^{−n}, ∞])),

d.h. das Integral ist bereits durch die Werte von μ auf dem Verband der offenen Mengen eindeutig bestimmt.

In Abschnitt 1.5 hatten wir eine Funktion s : X ↦ \overline{IR}_{+} einfach genannt, wenn ihr Bild endlich ist, und s(x) < ∞ für alle x ∈ X gilt. Nach Proposition 1.2 hat diese immer eine Standard–Darstellung ∑_{i=1}^{n}(α_{i} −α_{i−1})χ_{U_{i}}, wobei U_{i+1} ⊆ U_{i}, alpha_{i} < α_{i+1} und α_{0} = 0 gilt.

Dies motiviert die folgende Definition:

Definition 4.1 Für die Standard–Darstellung ∑_{i=1}^{n}(α_{i} − α_{i−1})χ_{U_{i}} einer einfachen stetigen Funktion s definieren wir das Integral bezüglich der Bewertung μ als

∫ s dμ := ∑_{i=1}^{n}(α_{i} − α_{i−1})μ(U_{i})

Man bemerke, daß höchstens α_{n} unendlich sein kann, so daß die Differenz stets wohldefiniert ist.

Sei nun f : X ↦ \overline{IR}_{+} eine beliebige stetige Funktion, dann setzen wir

∫ f dμ := sup {∫ s dμ | s ≤ f, s einfach}

Wir zeigen zunächst, daß diese Definition von der Darstellung der einfachen Funktion unabhängig ist:

Lemma 4.1 Sei s := ∑_{1}^{n} γ_{i}χ_{V_{i}} eine einfache stetige Funktion in einer beliebigen Darstellung. Dann ist

∫ s dμ = ∑_{1}^{n} γ_{i}μ(V_{i})

Beweis: Ist ∫ s dμ = ∞, so ist das Maß des Trägers tr s := s^{−1}((0, ∞]) unendlich, oder s nimmt auf einer offenen Menge V mit Maß ungleich 0 den Wert unendlich an. Im ersten Fall existiert ein V_{i} mit unendlichem Wert, da aus tr s = ⋃_{1}^{n} V_{i} folgt ∞ = μ(tr s) ≤ ∑_{1}^{n} μ(V_{i}). Im zweiten Fall muß eins der γ_{i} unendlich sein.

Sei nun μ(tr s) < ∞ und α_{n} < ∞. Dann können wir den Träger in disjunkte Mengen zerlegen, die alle in dem Booleschen Ring F_{0}(X) liegen (vergleiche Kapitel 3): Für B ⊆ {1, …, n} setze

V_{B} := ⋂_{i∈B} V_{i} \ ⋃_{j∉B} V_{j}
γ_{B} := ∑_{i∈B} γ_{i}

Ferner sei ∑_{i=1}^{m}(α_{i} − α_{i−1})χ_{U_{i}} die Standard–Darstellung von s.

Dann gilt für die eindeutig bestimmte Fortsetzung μ̄ von μ auf F_{0}(X):

∑_{j=1}^{m}(α_{j} − α_{j−1})μ(U_{j}) = ∑_{j=1}^{m}(α_{j} − α_{j−1}) ∑_{γ_{B}≥α_{j}^{B}} μ̄(V_{B})

= ∑_{B} ∑_{γ_{B}≥α_{j}^{j=1,...,m}}(α_{j} − α_{j−1})μ̄(V_{B})

= ∑_{B} β_{B}μ̄(V_{B})
= ∑_{B} ∑_{i∈B} γ_{i}μ̄(V_{B})

= ∑_{i=1}^{n} γ_{i} ∑_{i∈B^{B}} μ̄(V_{B})

= ∑_{i=1}^{n} γ_{i}μ( ⋃_{i∈B^{B}} V_{B})

= ∑_{i=1}^{n} γ_{i}μ(V_{i})

Korollar 4.1 Die Integration einfacher stetiger Funktionen bezüglich einer Bewertung μ ist linear. Dies schließt die Multiplikation mit ∞ ein, das heißt

∞ ∫ f dμ = ∫ (∞ · f) dμ

.

Beweis: Daß Multiplikation mit positiven Skalaren und Integration vertauschbar sind, ist offensichtlich.

Seien s, t einfach. Seien ∑_{i=1}^{n}(α_{i} − α_{i−1})χ_{U_{i}} beziehungsweise ∑_{j=1}^{m}(β_{j} − β_{j−1})χ_{V_{j}} ihre Standard–Darstellungen. Deren Summe ist eine Darstellung von s+t, aber nicht notwendig die Standard–Darstellung. Nach obigem Satz können wir aber schließen, daß

∫ s + t dμ = ∑_{i=1}^{n}(α_{i} − α_{i−1})μ(U_{i}) + ∑_{j=1}^{m}(β_{j} − β_{j−1})μ(V_{j})
= ∫ s dμ + ∫ t dμ

Für beliebige stetige Funktionen folgt nun aus der Stetigkeit der Skalarmultiplikation, daß Integration und Multiplikation vertauschbar sind.

Für die Addition ist dies nicht so einfach, da für stetige f, g : X → \overline{IR}_{+} nur gilt

{s + t | s ≤ f, t ≤ g einfach} ⊆ {u | u ≤ f + g einfach} ,

d.h. wir können zunächst nur ∫ f dμ + ∫ g dμ ≤ ∫ f + g dμ schließen.

Lemma 4.2 Die Integration einfacher stetiger Funktionen bezüglich einer Bewertung ist monoton.

Beweis: Seien

s = ∑_{i=1}^{n}(α_{i} − α_{i−1})χ_{U_{i}} ≤ ∑_{j=1}^{m}(β_{j} − β_{j−1})χ_{V_{j}} = t

in Standard-Darstellung.

Für ∫ t dμ = ∞ ist die Ungleichung trivial. Ist hingegen ∫ t dμ < ∞, so gilt

∫ s dμ = ∑_{i=1}^{n}(α_{i} − α_{i−1})μ(U_{i})
= ∑_{i=1}^{n} α_{i}μ̄(U_{i} \ U_{i+1})
= ∑_{i=1}^{n} α_{i} ∑_{j=1}^{m} μ̄(U_{i} \ U_{i+1} ∩ V_{j} \ V_{j+1}))

= ∑_{j=1}^{m} ∑_{i=1}^{n} α_{i}μ̄(U_{i} \ U_{i+1} ∩ V_{j} \ V_{j+1}))

≤ ∑_{j=1}^{m} ∑_{i=1}^{n} β_{j}μ̄(U_{i} \ U_{i+1} ∩ V_{j} \ V_{j+1}))
(da U_{i} ∩ V_{j} ≠ ∅ ⇔ α_{i} ≤ β_{j})
= ∑_{j=1}^{m}(β_{j} − β_{j−1})μ(V_{j})
= ∫ t dμ

Wir wollen nun zeigen, daß ein Satz ähnlich der monotonen Konvergenz gilt. Die folgenden Sätze gelten für den Fall, daß sowohl μ als auch O(X) stetig sind. Letzteres ist beispielsweise für lokal quasikompakte Räume der Fall.

Die folgenden beiden Propositionen sind eine Spezialisierung der im Compendium [3](II-4.20) dargestellten Sachverhalte.

Proposition 4.1 Seien α ≪ β ∈ \overline{IR}_{+} und U ≪ V ∈ O(X). Dann ist αχ_{U} ≪ βχ_{V}.

Beweis: Sei αχ_{V} ≤ sup_{i∈I} f_{i}, und (f_{i})_{i∈I} gerichtete Familie stetiger Funktionen.

Nun existiert ein δ ∈ IR, so daß β ≪ δ ≪ α. Für jedes x ∈ V ist δ ≪ α ≤ sup_{i∈I} f_{i}(x), also existiert ein i ∈ I, so daß β ≪ δ ≤ f_{i}(x). Also ist U ≪ V ⊆ ⋃_{i∈I} f_{i}^{−1}(↑ ↑ β), und diese Vereinigung ist gerichtet. Damit existiert ein k ∈ I, so daß für alle x ∈ U gilt: f_{k}(x) ≫ β. Damit ist f_{k} ≥ βχ_{U}.

Proposition 4.2 Sei s einfach und stetig und ∑_{1}^{n}(α_{i} −α_{i−1})χ_{U_{i}} die Standard–Darstellung von s. Für c < 1 und V_{1}, …, V_{n} mit V_{i} ≪ U_{i} ist

t := c ∑_{1}^{n}(α_{i} − α_{i−1})χ_{V_{i}} ≪ s

Beweis: Sei (f_{i})_{i∈I} gerichtet, s ≤ sup f_{i}. Dann gilt für alle k = 1, … n

cα_{k}χ_{V_{k}} ≪ α_{k}χ_{U_{k}} ≤ sup_{i∈I} f_{i},

d.h. es existiert ein i_{k} ∈ I, so daß cα_{k}χ_{V_{i}} ≤ f_{i_{k}}. Da die Familie der Funktionen gerichtet ist, existiert auch ein i_{0} ∈ I, so daß

t ≤ sup_{k=1,...,n} cα_{k}χ_{U_{i}} ≤ sup_{k=1,...,n} f_{i_{k}} ≤ f_{i_{0}}

Hilfssatz 4.1 Sei X ein core-kompakter Raum und μ : O(X) → \overline{IR}_{+} stetige Bewertung. Dann gilt für jede einfache stetige Funktion s

∫ s dμ = sup {∫ t dμ | t ≪ s, t einfach}

Beweis: Aus Proposition 4.2 folgt zunächst s = sup {t | t ≪ s, t einfach}. Damit gilt für die Standard–Darstellung s = ∑_{1}^{n}(α_{i} − α_{i−1})χ_{U_{i}}:

sup_{t≪s einfach} ∫ t dμ = sup_{c<1} sup { ∑_{1}^{n} c(α_{i} − α_{i−1})μ(V_{i})|V_{i} ≪ U_{i}}
= sup_{c<1} ∑_{1}^{n} c(α_{i} − α_{i−1}) sup {μ(V_{i})|V_{i} ≪ U_{i}}
= sup_{c<1} ∑_{1}^{n} c(α_{i} − α_{i−1})μ(U_{i})
= ∑_{1}^{n}(α_{i} − α_{i−1})μ(U_{i})
= ∫ s dμ

Daraus können wir folgende Sätze herleiten:

Lemma 4.3 Sei X ein core-kompakter Raum und μ : O(X) → \overline{IR}_{+} stetige Bewertung. Sei f stetig. Dann ist

∫ f dμ = sup {∫ t dμ | t ≪ f, t einfach}

Beweis: Aus der Definition des Integrals und Hilfssatz 4.1.

Satz 4.1 (Gerichtete monotone Konvergenz) Sei X ein core-kompakter Raum und μ : O(X) → \overline{IR}_{+} stetige Bewertung und D eine gerichtete Menge stetiger Funktionen mit Supremum f. Dann ist

∫ f dμ = sup_{g∈D} ∫ g dμ

Beweis: Zunächst folgt, daß die Integration stetiger Funktionen monoton ist: Seien h, f : X → \overline{IR}_{+} stetig und h ≤ f. Dann existiert zu jeder einfachen Funktion s ≪ h eine einfache Funktion t ≪ f, so daß s ≤ t. Mit Lemma 4.2 folgt

∫ h dμ = sup {∫ s dμ | s ≪ h, s einfach}
≤ sup {∫ t dμ | t ≪ f, t einfach}
= ∫ f dμ

Sei nun D eine gerichtete Familie stetiger Funktionen und s ≪ f := sup D eine einfache Funktion. Dann existiert ein g ∈ D, so daß s ≤ g. Daraus folgt aufgrund der Monotonie

∫ f dμ = sup {∫ s dμ | s ≪ f, s einfach}
≤ sup {∫ g dμ | g ∈ D}
= sup_{g∈D} ∫ g dμ

Satz 4.2 Sei X ein core–kompakter topologischer Raum. Dann ist die Integration stetiger Funktionen bezüglich einer stetigen Bewertung linear.

Beweis: Sicher gilt

r ∫ f dμ = r sup {∫ s dμ | s ≤ f, s einfach}
= sup {r ∫ s dμ | s ≤ f, s einfach}
= sup {∫ rs dμ | s ≤ f, s einfach}
= sup {∫ t dμ | t ≤ rf, t einfach}
= ∫ rf dμ

Seien f, g stetig und (s_{n}), (t_{n}) gerichtete Folgen einfacher Funktionen mit Supremum f beziehungsweise g. Dann ist sup_{n∈IN} s_{n} + t_{n} = f + g, und wegen Satz 4.1 folgt

∫ f + g dμ = ∫ f dμ + ∫ g dμ

Lemma 4.4 Für eine beliebige stetige Funktion f : X → \overline{IR}_{+} erhält das Integral gerichtete Suprema stetiger Bewertungen. Ferner erhält es endliche Summen von Bewertungen, sowie die Multiplikation mit reellen Skalaren.

D.h., seien μ, ν stetige Bewertungen, D eine gerichtete Familie stetiger Bewertungen, und r ∈ \overline{IR}_{+}, so gilt

∫ f d(sup D) = sup_{σ∈D} ∫ f dσ
∫ f d(μ + ν) = ∫ f dμ + ∫ f dν
∫ f d(r · μ) = r · ∫ f dμ

Beweis: Sei μ := sup D, dann gilt aufgrund der Scott–Stetigkeit der Addition in \overline{IR}_{+}

∫ f d(sup D) = sup_{n∈IN} ∑_{i=1}^{n·2^{n}} 2^{−n}μ(f^{−1}((i · 2^{−n}, ∞]))

= sup_{σ∈D} sup_{n∈IN} ∑_{i=1}^{n·2^{n}} 2^{−n}σ(f^{−1}((i · 2^{−n}, ∞]))
= sup_{σ∈D} ∫ f dσ
∫ f d(r · μ + ν) = sup_{n∈IN} ∑_{i=1}^{n·2^{n}} 2^{−n}(r · μ + ν)(f^{−1}((i · 2^{−n}, ∞]))

= r sup_{n∈IN} ∑_{i=1}^{n·2^{n}} 2^{−n}μ(f^{−1}((i · 2^{−n}, ∞]))

+ sup_{n∈IN} ∑_{i=1}^{n·2^{n}} 2^{−n}ν(f^{−1}((i · 2^{−n}, ∞]))

= r ∫ f dμ + ∫ f dν

Hieraus können wir nun einen sehr allgemeinen Satz über die Integration beweisen:

Satz 4.3 (Die Integral–Bilinearform) Sei X ein core-kompakter Raum. Dann ist die Integration I : V(X) × L(X) → \overline{IR}_{+} : (μ, f) ↦ ∫ f dμ eine bilineare Abbildung, die bezüglich der Scott-Topologie auf V(X) × L(X) stetig ist.

Beweis: Die Bilinearität von I folgt aus Satz 4.2 und Lemma 4.4. Aus Satz 4.1 beziehungsweise Lemma 4.4 folgt, daß I stetig bezüglich des Produktes der Scott-Topologien auf V(X) und L(X) ist.

Da X core-kompakt ist, ist L(X) ein stetiger Verband. Satz II-4.11 des Compendiums ([3, S. 133]) besagt aber, daß in diesem Falle die Scott-Topologie des Produktes gleich dem Produkt der Scott-Topologien ist.

Satz 4.4 (Substitutionsregel) Seien f : Y → \overline{IR}_{+} und h : X → Y stetig und μ eine stetige Bewertung auf X. Dann gilt

∫_{y∈Y} f(y) d(μ ∘ h^{−1}) = ∫_{x∈X}(f ∘ h)(x) dμ

Beweis: Sei zunächst f : Y → \overline{IR}_{+} einfach, die Standard-Darstellung sei f = ∑_{i=1}^{n} α_{i}χ_{U_{i}}. Dann gilt

∫_{y∈Y} f(y) d(μ ∘ h^{−1}) = ∑_{i=1}^{n} α_{i}(μ ∘ h^{−1})(U_{i})
= ∫_{x∈X} ∑_{i=1}^{n} α_{i}χ_{h^{−1}(U_{i})}(x) dμ

= ∫_{x∈X} (∑_{i=1}^{n} α_{i}χ_{U_{i}}) (h(x)) dμ
= ∫_{x∈X}(f ∘ h)(x) dμ

Für den Fall, daß f eine beliebige stetige Funktion ist, folgt das gewünschte Resultat direkt aus der Definition des Integrals.

Bemerkung 4.1 Schreibt man für eine Bewertung μ ∈ V(Y) und eine Abbildung g ∈ L(Y) das Integral als ⟨μ, g⟩, so ergibt sich eine recht einprägsame Form der Substitutionsregel:

⟨μ, g ∘ h⟩ = ⟨μ ∘ h^{−1}, g⟩

für eine stetige Abbildung h : X → Y. Das heißt in der Sprache der Bilinearformen, daß die Abbildungen g ↦ g ∘ h : L(Y) → L(X) sowie μ ↦ μ ∘ h^{−1} : V(Y) → V(X) bezüglich der Form I zueinander adjungiert sind.

Ferner gilt folgende Identität INTEGRATION STETIGER FUNKTIONEN 39 Bemerkung 4.2 Ist f : X → \overline{IR}_{+} eine stetige Abbildung, und x ∈ X, dann gilt

∫ f dη_{x} = f(x)

Beweis: Durch Einsetzen.

Wir machen folgende Beobachtung: Hilfssatz 4.2 Sei X ein core–kompakter Raum. Es gilt für zwei Bewertungen μ, ν ∈ V(X) genau dann μ ≤ ν, wenn für alle f ∈ L(X) gilt ∫ f dμ ≤ ∫ f dν. Beweis: Die eine Implikation der Äquivalenz wurde bereits im vorhergehenden Lemma 4.4 bewiesen. Für die Umkehrung sei U ∈ O(X); dann folgt

μ(U) = ∫ χ_{U} dμ ≤ ∫ χ_{U} dν = ν(U).

Der Bereich aller stetigen Bewertungen

Für einen beliebigen topologischen Raum X kann man die Menge aller stetigen Bewertungen betrachten, bzw. Teilmengen derselben. Claire Jones hat dies in ihrer Arbeit [7] für die Menge aller stetigen Bewertungen μ : O(X) → [0, 1] getan. Dies ist immer ein Dcpo. Mit einer geeigneten Vorschrift zur Abbildung von Morphismen erhält man immer einen Endofunktor der Kategorie Dcpo aller Bereiche mit Scott–stetigen Abbildungen als Morphismen. Dies wird im folgenden Kapitel eingehender betrachtet werden.

In diesem Abschnitt untersuchen wir die Struktur des Raums V(X) aller stetigen Bewertungen für den Fall, daß der Ausgangsraum ein mit der Scott–Topologie ausgestatteter stetiger Bereich ist. Eine wichtige Rolle werden dabei die einfachen Bewertungen spielen. Dies sind endliche Linearkombinationen von Punktbewertungen ξ = ∑_{i=1}^{n} r_{i}η_{x_{i}} : O(X) → IR_{+}, d.h. die Koeffizienten sind insbesondere endlich. Per Konvention gilt ferner r_{i} > 0.

In Lemma 1.4 hatten wir bereits gezeigt, daß V(X) für jeden topologischen Raum X ein Bereich ist.

In [7, Theorem 5.2] beweist C. Jones, daß jede stetige beschränkte Bewertung auf einem stetigen Bereich als Supremum einer gerichteten Familie einfacher Bewertungen darstellbar ist. Im folgenden erweitern wir diesen Satz auf unbeschränkte Bewertungen.

Sei dazu X im folgenden ein stetiger Bereich und μ eine beliebige, aber feste stetige Bewertung auf X. Zunächst führen wir einen Hilfsbegriff ein.

Definition 5.1 Seien eine einfache Bewertung ξ = ∑_{b∈B} r_{b}η_{b} und eine stetige Bewertung μ gegeben. Wir setzen ξ ≺ μ genau dann, wenn für alle nichtleeren K ⊆ B

∑_{b∈K} r_{b} < μ( ⋃_{b∈K} ↑ ↑ b)

gilt.

Hilfssatz 5.1 Seien μ, ξ und ζ stetige Bewertungen, ξ und ζ einfach und ζ ≤ ξ ≺ μ. Dann gilt

(i) ζ ≺ μ.

(ii) ξ ≪ μ.

(iii) Es existiert ein r > 1 so, daß r · ξ ≺ μ.

Beweis: Sei ξ = ∑_{b∈B} r_{b}η_{b}.

(i) Sei ζ = ∑_{c∈C} s_{c}η_{c}. Sei K ⊆ C nichtleer und K′ := B∩ ↑ K. Wäre K′ leer, so gäbe es aufgrund des T_{0}–Trennungsaxioms eine offene Menge U ∈ O(X) mit U ∩C =↑ K ∩C und U ∩ B = ∅. Dann gälte aber

0 < ∑_{c∈K} s_{c}
≤ ∑_{c∈K′} s_{c}
= ζ(U)
≤ ξ(U)
= ∑_{b∈U∩B} r_{b}
= ∑_{b∈K′} r_{b}
= 0

und dies ist ein Widerspruch. Also ist K′ nichtleer, und es gilt nach Voraussetzung

∑_{c∈K} s_{c} ≤ ∑_{b∈K′} r_{b}
< μ( ⋃_{b∈K′} ↑ ↑ b)
≤ μ( ⋃_{c∈K} ↑ ↑ c)

und folglich ζ ≺ μ.

(ii) Sei D ⊆ V(X) gerichtet mit μ ≤ sup D und sei K ⊆ B nichtleer. Dann gilt für alle offenen Mengen U mit U ∩ B = K

ξ(U) = ∑_{b∈K} r_{b}
< μ( ⋃_{b∈K} ↑ ↑ b)
≤ μ(U)
≤ sup_{σ∈D} σ(U)

Dann existiert ein σ_{K} ∈ D so daß ξ(U) ≤ σ_{K}(U) für alle U mit U ∩ B = K gilt.

Da B endlich ist, hat es nur endlich viele Teilmengen K. In der gerichteten Menge D existiert dann eine gemeinsame obere Schranke der σ_{K}, nennen wir sie σ. Dann gilt für alle offenen Mengen U mit K := U ∩ B

ξ(U) = ∑_{b∈K} r_{b}
≤ σ_{K}(U)
≤ σ(U)

Also ist ξ ≪ μ.

Wir werden weiter unten sehen, daß die Umkehrung auch gilt.

(iii) Setze

s := max \{\frac{μ(⋃_{b∈K} ↑ ↑ b) − ∑_{b∈K} r_{b}}{∑_{b∈K} r_{b}} |K ⊆ B\}

und r := 1 + s/2. Man überprüft leicht, daß das Gewünschte gilt.

Wir wollen nun im folgenden beweisen, daß jede stetige Bewertung als gerichtetes Supremum der Menge M der einfachen Bewertungen ξ ≺ μ darstellbar ist. Das wesentliche Problem hierbei ist, zu zeigen, daß M tatsächlich gerichtet ist. Daß μ das punktweise Supremum ist, folgt dann recht einfach.

Seien also zwei einfache Bewertungen ξ_{1}, ξ_{2} ≺ μ gegeben. Zugehörige Darstellungen seien ξ_{i} = ∑_{b∈B_{i}} r_{i,b}η_{b}. Nach Hilfssatz 5.1(ii) existiert dann auch ein s_{i} < 1, so daß ξ_{i} ≺ s_{i} · μ.

Gesucht ist nun eine weitere einfache Bewertung ξ ≺ μ, so daß ξ_{1}, ξ_{2} ≤ ξ. Der folgende Satz liefert eine hinreichende Bedingung hierfür:

Hilfssatz 5.2 Seien ξ_{1}, ξ_{2} wie oben, s := max(s_{1}, s_{2}) und m := max(ξ_{1}(X), ξ_{2}(X)). Damit eine einfache Bewertung ξ eine obere Schranke der ξ_{i} ist, reicht aus, für alle K ⊆ B_{i} und V := ⋃_{b∈K} ↑ ↑ b zu fordern, daß

\begin{matrix}s · μ(V) & ≤ & ξ(V) & falls μ(V) < ∞ \\ m & ≤ & ξ(V) & sonst \end{matrix} (5.1)

Beweis: ξ erfülle die Bedingung (5.1). Dann gilt für alle offenen Mengen U ∈ O(X), für i = 1, 2 und K := U ∩ B_{i}

ξ_{i}(U) = ∑_{b∈K} r_{i,b}
< sμ( ⋃_{b∈K} ↑ ↑ b)
≤ ξ( ⋃_{b∈K} ↑ ↑ b)
≤ ξ(U)

falls μ(⋃_{b∈B} ↑ ↑ b) endlich ist; andernfalls ist die Ungleichung trivial.

Wir suchen also eine einfache Bewertung ξ ≺ μ, welche die Bedingung (5.1) erfüllt. Unsere Strategie hierbei wird sein, die Vereinigung aller ↑ ↑ b mit b ∈ B_{1} ∪ B_{2} in disjunkte halboffene Mengen T_{L} zu zerlegen, zu jedem Stück eine einfache Bewertung σ_{L} ≺ μ zu suchen, deren Masse sich in T_{L} konzentriert, und die s · μ̄(T_{L}) ≤ σ_{L}(T_{L}) erfüllt. Diese σ_{L} kann man anschließend aufaddieren und erhält die gesuchte Bewertung. Dies leistet folgender Satz:

Satz 5.1 Seien O_{1}, … O_{n} offene Mengen in X, 0 < s < 1 und m ∈ IR_{+}. Dann existiert eine einfache Bewertung ξ ≺ μ, die für alle K ⊂ {1, …, n} und V := ⋃_{i∈K} O_{i} Bedingung (5.1) erfüllt:

\begin{matrix}s · μ(V) & ≤ & ξ(V) & falls μ(V) < ∞ \\ m & ≤ & ξ(V) & sonst \end{matrix} (5.2)

Beweis: Für den folgenden Beweis wählen wir die in Satz 3.2 definierte kleinste Fortsetzung μ̄ von μ auf die von O(X) erzeugte boolesche Algebra F(X).

Bilde zunächst für alle L ⊆ {1, …, n} die Menge

T_{L} := ⋂_{i∈L} O_{i} \ ⋃_{i∉L} O_{i}

Diese bilden eine disjunkte Zerlegung von ⋃_{i=1}^{n} O_{i}. Ferner wählen wir ein r mit s < r < 1.

Wir betrachten nun eine solche halboffene Menge T_{L} =: U \W. In einem stetigen Bereich gilt bekanntlich U \ W = ⋃_{x∈U\W} ↑ ↑ x \ W. Sei zunächst μ̄(U \ W) < ∞. Nach Lemma 3.5 erfüllt μ̄ dann

s · μ̄(U \ W) < r · μ̄( ⋃_{x∈U} ↑ ↑ x \ W)

= r · sup_{x_{1},...,x_{n}∈U\W} μ̄( ⋃_{i=1}^{n} ↑ ↑ x_{i} \ W)

Es existieren demnach x_{1}, …, x_{k} ∈ U \ W, so daß

s · μ̄(U \ W) ≤ r · μ̄( ⋃_{1}^{k} ↑ ↑ x_{i} \ W) (5.3)

Im Falle von μ̄(U \ W) = ∞ existieren x_{1}, …, x_{k} ∈ U \ W, so daß

m ≤ r · μ̄( ⋃_{1}^{k} ↑ ↑ x_{i} \ W) (5.4)

Wir definieren α_{i} := r · μ̄( ↑ ↑ x_{i} \ (⋃_{j<i} ↑ ↑ x_{j} ∪ W)) und setzen

σ_{L} := ∑_{i=1}^{k} α_{i}η_{x_{i}}

Man bemerke, daß die gesamte Masse von ξ_{L} in T_{L} liegt.

Für jede endliche Menge K ⊆ X gilt nun

∑_{b∈K,x_{i}≥b} α_{i} = ∑_{b∈K,x_{i}≥b} r · μ̄( ↑ ↑ x_{i} \ (⋃_{j<i} ↑ ↑ x_{j} ∪ W))  (5.5)
≤ r · μ̄( ⋃_{b∈K,x_{i}≥b} ↑ ↑ x_{i} \ W)
≤ r · μ̄( ⋃_{b∈K}(↑ ↑ b ∩ U) \ W)
< μ̄( ⋃_{b∈K} ↑ ↑ b ∩ T_{L})  (5.6)

Im Falle μ̄(U \ W) < ∞ folgt

s · μ̄(T_{L}) ≤ r · μ̄(⋃_{i=1}^{n} ↑ ↑ x_{i} \ W)
= ∑_{i=1}^{n} r · μ̄(↑ ↑ x_{i} \ (⋃_{j<i} ↑ ↑ x_{j} ∪ W))

= ∑_{i=1}^{n} α_{i}
= σ_{L}(T_{L})

und im Falle μ̄(U \ W) = ∞ gilt

m ≤ r · μ̄(⋃_{i=1}^{n} ↑ ↑ x_{i} \ W)
= σ_{L}(T_{L})

Nun bilden wir die Summe ξ := ∑_{L⊆{1,...,n}} σ_{L}. Wir zeigen zunächst, daß ξ Bedingung (5.1) erfüllt. Sei dazu K ⊆ {1, …, n} und V := ⋃_{i∈K} O_{i}.

Ist μ(V) = ∞, so muß wegen V = ⋃_{T_{L}⊆V} T_{L} ein L ⊆ {1, …, n} existieren, so daß μ̄(T_{L}) = ∞. Damit folgt

m ≤ σ_{L}(T_{L})
= ξ(T_{L})
≤ ξ(V)

Ist μ(V) < ∞, so gilt für alle T_{L} ⊆ V auch μ̄(T_{L}) < ∞. Daraus folgt

s · μ(V) = s · ∑_{T_{L}⊆V} μ̄(T_{L})
≤ ∑_{T_{L}⊆V} σ_{L}(T_{L})
= ∑_{T_{L}⊆V} ξ(T_{L})
= ξ(V)

Damit ist gezeigt, daß ξ Bedingung (5.1) erfüllt.

Zuletzt müssen wir noch beweisen, daß ξ ≺ μ gilt. Sei dazu D die Menge der Punkte x, so daß η_{x} als Summand in ξ auftaucht. Sei K ⊆ D nichtleer, und V := ⋃_{b∈K} ↑ ↑ b. Ist μ(V) = ∞, so gilt trivialerweise ∑_{b∈K} r_{b} < μ(V), da ξ beschränkt ist. Ist μ(V) < ∞, so gilt wegen (5.6)

∑_{b∈K} r_{b} ≥ ∑_{x∈D∩↑K} r_{x}
≥ ∑_{L} ∑_{x∈D∩T_{L}∩↑K} r_{x}
< ∑_{L} μ̄(( ⋃_{b∈K} ↑ ↑ b ∩ T_{L}) \ W)
= μ̄( ⋃_{b∈K} ↑ ↑ b)
= μ(V)

Somit gilt auch ξ ≺ μ.

Verbinden wir beide Ergebnisse, so können wir folgenden Schluß ziehen:

Satz 5.2 In einem stetigen Bereich X ist jede stetige Bewertung μ gleich dem gerichteten Supremum aller einfachen Bewertungen ξ ≺ μ.

Beweis: Sei μ eine stetige Bewertung auf X. Wir betrachten die weiter oben definierte Menge M aller einfachen Bewertungen ξ ≺ μ. Zunächst zeigen wir, daß sie gerichtet ist.

Seien ξ_{1}, ξ_{2} ∈ M gegeben, ξ_{i} = ∑_{b∈B_{i}} r_{i,b}η_{b}. Nach Hilfssatz 5.1(ii) existieren s_{1}, s_{2} < 1, so daß ξ_{i} ≺ s_{i} · μ. Wir setzen s := max(s_{1}, s_{2}). Nach Hilfssatz 5.2 ist es hinreichend, daß eine Bewertung ξ die Bedingung (5.1) für alle ⋃_{b∈K} ↑ ↑ b mit K ⊆ B erfüllt, damit ξ_{i} ≤ ξ.

Mit Satz 5.1 erhalten wir diese Bewertung, die darüberhinaus ξ ≺ μ erfüllt, also in M liegt. Damit ist M gerichtet.

Um zu zeigen, daß sup M = μ ist, müssen wir für alle U ∈ O(X) sup_{ξ∈M} ξ(U) = μ(U) zeigen. Ist μ(U) = ∞, so erhalten wir aus Satz 5.1 für jedes m ∈ IN eine einfache Bewertung ξ_{m} ≺ μ, die m ≤ ξ_{m}(U) erfüllt; ist μ(U) < ∞, so liefert uns Satz 5.1 für jedes s < 1 eine einfache Bewertung ξ_{s} ≺ μ, die s · μ(U) ≤ ξ_{s}(U) erfüllt. In beiden Fällen können wir schließen, daß sup_{ξ∈M} ξ(U) = μ(U). Also ist sup M = μ.

Korollar 5.1 Für eine stetige Bewertung μ und eine einfache Bewertung ξ gilt ξ ≺ μ genau dann, wenn ξ ≪ μ.

Beweis: Die eine Implikation wurde bereits in Hilfssatz 5.1 bewiesen. Wir zeigen nun die Umkehrung: Sei ξ ≪ μ. Nach obigem wissen wir, daß μ das gerichtete Supremum aller ζ ≺ μ ist, also existiert eine einfache Bewertung ζ mit ξ ≤ ζ ≺ μ; dann ist aber auch ξ ≺ μ.

Es folgt nun sofort das Hauptergebnis dieses Abschnitts:

Satz 5.3 Ist X stetiger Bereich, ausgestattet mit der Scott–Topologie, so ist V(X) ebenfalls stetig.

Beweis: Direkt aus Satz 5.2 und Korollar 5.1.

Bemerkung 5.1 Man bemerke, daß obiges Ergebnis wohl kaum für eine größere Klasse von Räumen zu haben sein wird.

Ein prominentes Gegenbeispiel ist das Einheitsintervall in der gewöhnlichen Euklidschen Topologie. Das Lebesgue–Maß λ ist, eingeschränkt auf die offenen Mengen, eine stetige Bewertung; jedoch haben alle Punkte die Masse null. Aus diesem Grunde gibt es keine unter λ liegenden einfachen Bewertungen.

Daß die Aussichten auf eine Verallgemeinerung von Satz 5.2 gering sind, erhellt auch der folgende Satz.

Satz 5.4 Sei X ein nüchterner Raum und jede Bewertung in V(X) sei gerichtetes Supremum der weit darunterliegenden einfachen Bewertungen. Dann ist auch X ein stetiger Bereich.

Beweis: Zunächst statten wir X mit der Spezialisierungsordnung aus, d.h.

x ≤ y :⇔ (∀U ∈ O(X).x ∈ U ⇒ y ∈ U)

Bekanntlich ist jeder nüchterne Raum, wenn mit der Spezialisierungsordnung ausgestattet, ein Bereich. Bezüglich dieser Ordnung können wir die way–below Relation definieren.

Sei nun x ∈ X, dann ist η_{x} = sup {α | α ≪ η_{x} einfach}. Wir betrachten zunächst eine einfache Bewertung α ≪ μ, eine Darstellung sei mit α = ∑_{1}^{n} r_{i}η_{x_{i}} gegeben.

Wäre x_{i} ≰ x für ein i, so gäbe es eine offene Umgebung U von x_{i}, die x nicht enthält. Damit folgte aber r_{i} ≤ α(U) ≤ η_{x}(U) = 0, was ein Widerspruch ist, da wir für die Darstellungen einer einfachen Bewertung vereinbart hatten, daß r_{i} ≠ 0 gelten soll. Also gilt ∀i.x_{i} ≤ x.

Es gilt sogar x_{i} ≪ x: Sei D ⊆ X gerichtet, und sup D ≥ x. Dann ist auch sup_{y∈D} η_{y} ≥ η_{x}, weswegen ein y ∈ D existiert, so daß α ≤ η_{y} ist. Nach obigem wissen wir dann aber, daß auch x_{i} ≤ y gilt.

Wir müssen nun noch zeigen, daß ↓ ↓ x gerichtet ist. Seien dazu x_{1}, …, x_{n} ≪ x gegeben. Dann enthalten alle ↑ ↑ x_{i} den Punkt x und damit auch ihr Durchschnitt U := ⋂ ↑ ↑ x_{i}. Dann muß auch ein einfaches β ≪ η_{x} existieren, so daß β(U) ≠ 0 ist. Das wiederum heißt, daß es einen Punkt z ∈ U gibt, an dem β eine nichtverschwindende Masse hat. Da β ≪ η_{x} gilt, muß für diesen Punkt nach obigem auch z ≪ x gelten. Insbesondere haben wir damit x_{1}, …, x_{n} ≪ z ≪ x geschlossen, d.h. ↓ ↓ x ist gerichtet.

Ferner haben wir damit gezeigt, daß es zu jeder einfachen Bewertung α ≪ η_{x} mit Massen in x_{1}, …, x_{n} einen Punkt z ≪ x gibt, so daß α ≤ η_{z} gilt. Damit können wir schließen

η_{x} = sup {α | α ≪ η_{x} einfach}
≤ sup {η_{z} | z ≪ x}
≤ η_{x}

Daraus können wir folgern, daß η_{x} = sup {η_{z} | z ≪ y} = η_{sup ↓ ↓ x}. In einem T_{0}–Raum bedeu-

tet dies aber, daß x = sup ↓ ↓ x ist.

Man bemerke, daß der obige Satz noch keine Aussage über die Topologie auf X liefert. Es ist grundsätzlich so, daß die von der Spezialisierungs–Ordnung induzierte Scott– Topologie auf X feiner ist als die ursprüngliche Topologie; wir wissen aber nicht, ob sie übereinstimmen oder nicht.

Satz 5.5 Sei X ein stetiger Bereich. Erfüllt die Scott–Topologie auf X das zweite Abzählbarkeitsaxiom, dann gilt dies auch für V(X).

Beweis: Bekanntlich erfüllt die Scott–Topologie auf einem stetigen Bereich genau dann das zweite Abzählbarkeitsaxiom, wenn X ω–stetig ist, d.h. eine abzählbare Teilmenge B ⊆ X existiert, so daß für alle x ∈ X die Menge ↓ ↓ x ∩ B gerichtet ist und x als ihr Supremum hat.

Sei also solch eine abzählbare Basis von X gegeben, dann bilden wir die Menge

B := { ∑_{b∈K} q_{b}η_{b}|K ⊆ B endlich , q_{b} ∈ IQ}

Diese Menge ist sicherlich abzählbar, da dies für IQ zutrifft, die Menge P_{f}(B) aller endlichen Teilmengen von B ebenfalls abzählbar ist, und die Mächtigkeit von B gleich der von ⋃_{K∈P_{f} (B)} IQ^{K} ist.

Sei nun μ eine stetige Bewertung aus V(X), dann betrachten wir A := ↓ ↓ μ ∩ B. Zu zwei Bewertungen ξ_{1}, ξ_{2} ≪ μ existiert dann eine Bewertung ξ, so daß ξ_{i} ≪ ξ ≪ μ (dieser Schluß verwendet die Interpolationseigenschaft der way–below–Relation). Sei ξ = ∑_{j=1}^{n} r_{j}η_{c_{j}} eine einfache Bewertung. Da

ξ_{i} ≪ ξ = sup { ∑_{j=1}^{n} q_{j}η_{d_{j}} |q_{j} < r_{j}, q_{j} ∈ IQ, d_{j} ≪ c_{j}},

existieren also q_{i,1}, …, q_{i,n} sowie d_{i,1}, …, d_{i,n}, so daß ξ_{i} ≤ ∑_{j=1}^{n} q_{i,j}η_{d_{i,j}} gilt. Wir bilden nun q_{j} := max(q_{1,j}, q_{2,j}). Da ↓ ↓ c_{j} gerichtet ist, existiert zu d_{1,j}, d_{2,j} ein d_{j} mit d_{i,j} ≤ d_{j} ≪ c_{j}.

Setzen wir schließlich ξ′ := ∑_{j=1}^{n} q_{j}η_{d_{j}}, so gilt nach Lemma 2.5 die Beziehung ξ_{1}, ξ_{2} ≤ ξ′ ≪ μ.

Damit können wir einerseits sofort schließen, daß A gerichtet ist und daß andererseits sup A = μ gilt. Damit haben wir gezeigt, daß V(X) ω–stetig ist und deswegen das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt.

Die Umkehrung dieses Schlusses wird uns wahrscheinlich nicht gelingen. Wir können zwar, falls uns eine abzählbare Basis von V(X) gegeben ist, eine abzählbare Basis von einfachen Bewertungen finden, was uns wiederum eine abzählbare Menge P von Punkten liefert (nämlich gerade diejenigen Punkte, an denen eine der einfachen Bewertungen eine nichttriviale Masse hat). Aber es ist nicht gesagt, daß auch tatsächlich für jedes x ∈ X die Menge ↓ ↓ x ∩ P gerichtet ist.

Die Monade V

Für einen beliebigen topologischen Raum X kann man nun die Menge aller stetigen Bewertungen betrachten, bzw. Teilmengen derselben. Claire Jones hat dies in ihrer Arbeit [7] für die Menge aller stetigen Bewertungen μ : O(X) → [0, 1] getan. Dies ist immer ein Dcpo. Man erhält einen Endofunktor der Kategorie Dcpo aller Bereiche mit Scott-stetigen Abbildungen als Morphismen, wenn man jedem Morphismus f : X → Y die Abbildung μ ↦ μ ∘ f^{−1} zuordnet. Es läßt sich zeigen, daß dieser Funktor eine Monade ist.

Im Falle unbeschränkter Bewertungen läßt sich ebenfalls ein Endofunktor auf Dcpo konstruieren, jedoch wird es sich hierbei im allgemeinen nicht um eine Monade handeln. Dies können wir nur schließen, wenn wir genügend Stetigkeitseigenschaften voraussetzen.

Im folgenden werden wir auf der Kategorie Cont aller stetigen Bereiche mit der Scott– Topologie den Funktor V definieren. Aus Satz 5.3 wissen wir, daß V(X) wieder stetiger Bereich ist.

Definition 6.1 Seien X, Y topologische Räume und f : X → Y Scott-stetige Abbildung. Definiere V(X) als die Menge aller stetigen Bewertungen μ : O(X) → \overline{IR}_{+}, ausgestattet mit der Scott–Topologie, und definiere V(f) als

V(f) : V(X) → V(Y) : μ ↦ μ ∘ f^{−1}

Lemma 6.1 V : T op → T op ist ein Endofunktor in der Kategorie der topologischen Räume mit stetigen Abbildungen als Morphismen. V ist ebenfalls Endofunktor der vollen Unterkategorien Cont aller stetigen Bereiche, sowie Cont _{ω} aller ω–stetigen Bereiche.

DIE MONADE V 51

Beweis: Aus Lemma 1.4 wissen wir bereits, daß V(X) stets ein Bereich ist.

Ist f : X → Y stetig und μ : O(X) → \overline{IR}_{+} stetige Bewertung, so ist μ ∘ f^{−1} eine Abbildung von O(Y) → \overline{IR}_{+}. Da f^{−1} ein Morphismus von Frames ist (d.h. endliche Infima und beliebige Suprema erhält), erhält die Hintereinanderausführung gerichtete Suprema. Insbesondere erhält f^{−1} aber auch die Verbandsoperationen, weshalb die Modularitätsgleichung gilt. Ferner ist das Urbild der leeren Menge leer, also ist V(f)(μ) auch strikt. Daher ist V(f)(μ) stetige Bewertung.

Sei D eine gerichtete Menge stetiger Bewertungen auf X, dann ist

V(f)(sup D) = (sup D) ∘ f^{−1}
= sup {μ ∘ f^{−1} | μ ∈ D}
= sup {V(f)(μ) | μ ∈ D}

Also ist V(f) Scott–stetig.

Sind zwei Morphismen f : Y → Z und g : X → Y gegeben, so gilt

V(f ∘ g)(μ) = μ ∘ (f ∘ g)^{−1}
= (μ ∘ g^{−1}) ∘ f^{−1}
= V(g)(μ) ∘ f^{−1}
= (V(f) ∘ V(g))(μ)

Schließlich gilt V(id_{X})(μ) = μ = id_{V(X)}(μ). Damit haben wir die Funktorialität von V bewiesen.

Aus Sätzen 5.3 bzw. 5.5 folgt, daß V stetige (bzw. ω–stetige) Bereiche wieder auf solche abbildet. Da wir die vollen Unterkategorien betrachten, sind die Einschränkungen von V auf diese Endofunktoren.

Definition 6.2 Für einen topologischen Raum X definiere man die Abbildung η_{X} : X → V(X) : x ↦ η_{x}, wobei η_{x} die x zugeordnete Punktbewertung sei.

Lemma 6.2 Für einen Bereich X ist die Abbildung η_{X} Scott–stetig und injektiv, und η : 1 → V ist eine natürliche Transformation.

52 DIE MONADE V Beweis: Da die Scott–Topologie das Trennungsaxiom T_{0} erfüllt, ist η_{X} injektiv.

Sei ferner D ⊆ X gerichtet und habe y als Supremum. Dann gilt sicherlich sup_{x∈D} η_{x} ≤ η_{y}. Umgekehrt sei η_{y}(U) = 1 für eine offene Menge U ⊆ X. Das heißt, sup D ∈ U, weswegen ein x ∈ D existiert mit x ∈ U, d.h. η_{x}(U) = 1.

η_{X} erhält also gerichtete Suprema und ist daher Scott–stetig.

Seien X, Y Bereiche, und f : X → Y stetig. Dann gilt für x ∈ X und U ∈ O(Y)

(η_{Y} ∘ f)(x)(U) = η_{f(x)}(U)
= η_{x}(f^{−1}(U))
= (η_{x} ∘ f^{−1})(U)
= V(f)(η_{x})(U)
= (V(f) ∘ η_{X})(x)(U)

Es gilt also η_{Y} ∘ f = V(f) ∘ η_{X}, d.h. η ist natürlich.

Definition 6.3 Es sei ν ∈ V^{2}(X). Da für alle U ∈ O(X) die Auswertungsabbildung

ε_{U} : V(X) → \overline{IR}_{+} : ξ ↦ ξ(U)

stetig ist, können wir eine Abbildung μ_{X}(ν) : O(X) → \overline{IR}_{+} definieren durch

μ_{X}(ν)(U) := ∫_{ξ∈V(X)} ξ(U) dν = ∫_{ξ∈V(X)} ε_{U}(ξ) dν (6.1)

Lemma 6.3 Für einen stetigen Bereich X gilt • μ_{X}(ν) ist für alle ν ∈ V^{2}(X) eine stetige Bewertung auf X.

• μ_{X} : V^{2}(X) → V(X) ist Scott–stetig.

• μ : V^{2} → V ist eine natürliche Transformation.

Beweis:

• Zunächst müssen wir beweisen, daß μ_{X} wohldefiniert ist. Sei dazu ν ∈ V^{2}(X) eine stetige Bewertung. μ_{X}(ν) ist modular, da für U, V ∈ O(X) gilt

μ_{X}(ν)(U) + μ_{X}(ν)(V) = ∫_{ξ∈V(X)} ξ(U) dν + ∫_{ξ∈V(X)} ξ(V) dν
= ∫_{ξ∈V(X)} ξ(U) + ξ(V) dν nach 4.2
= ∫_{ξ∈V(X)} ξ(U ∩ V) + ξ(U ∪ V) dν
= ∫_{ξ∈V(X)} ξ(U ∩ V) dν + ∫_{ξ∈V(X)} ξ(U ∪ V) dν
= μ_{X}(ν)(U ∩ V) + μ_{X}(ν)(U ∪ V)

Also ist μ_{X}(ν) modular. Da das Integral über die Konstante 0 wieder 0 ist, ist μ_{X}(ν) auch strikt. Die Stetigkeit folgt aus der gerichteten monotonen Konvergenz des Integrals (Satz 4.1). Sei dazu D ⊆ O(X) gerichtet. Dann gilt

μ_{X}(ν)( ⋃ D) = ∫_{ξ∈V(X)} ε_{(⋃ D)}(ξ) dν
= ∫_{ξ∈V(X)} sup_{U∈D} ε_{U}(ξ) dν
= sup_{U∈D} ∫_{ξ∈V(X)} ε_{U}(ξ) dν
= sup_{U∈D} μ_{X}(ν)(U)

Damit haben wir bewiesen, daß μ_{X} wohldefiniert ist.

• Die Stetigkeit folgt mit Hilfe von Satz 4.4. Ist D ⊆ V^{2}(X) eine gerichtete Familie stetiger Bewertungen, so gilt

μ_{X}(sup D)(U) = ∫_{ξ∈V(X)} ξ(U) d(sup D)
= sup_{ν∈D} ∫_{ξ∈V(X)} ξ(U) dν
= sup_{ν∈D} μ_{X}(ν)(U)

• Zum Beweis der Natürlichkeit von μ sei eine Scott–stetige Abbildung f : X → Y gegeben; X, Y seien stetige Bereiche. Dann gilt für ν ∈ V^{2}(X), U ∈ O(Y) aufgrund der Substitutionsregel (Satz 4.4)

(V(f) ∘ μ_{X})(ν)(U) = ∫_{ξ∈V(X)} ξ(f^{−1}(U)) dν
= ∫_{ξ∈V(X)}(V(f)(ξ))(U) dν
= ∫_{χ∈V(Y)} χ(U) d(ν ∘ V(f)^{−1})
= μ_{Y} (V^{2}(f)(ν))(U)
= (μ_{Y} ∘ V^{2}(f))(ν)(U)

Um zu beweisen, daß V eine Monade ist, beweisen wir zunächst folgenden Hilfssatz:

Hilfssatz 6.1 Sei X ein topologischer Raum, so daß O(X) stetig ist, und ν ∈ V^{2}(X). Dann gilt

∫_{x∈X} f(x) dμ_{X}(ν) = ∫_{ξ∈V(X)} ( ∫_{x∈X} f dξ) dν

Beweis: Zunächst betrachten wir nur den Fall f = χ_{U} für eine offene Menge U ∈ O(X). Dann gilt

∫_{x∈X} χ_{U}(x) dμ_{X}(ν) = μ_{X}(ν)(U)
= ∫_{ξ∈V(X)} ξ(U) dν
= ∫_{ξ∈V(X)} ( ∫_{x∈X} χ_{U}(x) dξ) dν

Da Integration aber linear ist, gilt obige Gleichung für beliebige einfache Funktionen; aufgrund des Satzes 4.1 von der gerichteten monotonen Konvergenz folgt das Gewünschte.

Satz 6.1 (V, μ, η) ist eine Monade auf der Kategorie Cont aller stetigen Bereiche mit der Scott–Topologie.

Beweis: Zum Beweis müssen wir die Kommutativität folgender Diagramme nachprüfen:

[figure: V(X); V^{2}(X); V(X); V(X); η_{V(X)}; V(η_{X}); μ_{X}; =; =; V^{3}(X); V^{2}(X); V^{2}(X); V(X); μ_{V(X)}; V(μ_{X}); μ_{X}; μ_{X}]

Zunächst zeigen wir, daß die beiden Dreiecke kommutieren: Sei X stetiger Bereich, dann gilt für eine Bewertung ν ∈ V(X) aufgrund von Bemerkung 4.2

(μ_{X} ∘ η_{V(X)})(ν)(U) = ∫_{ξ∈V(X)} ξ(U) dη_{ν}
= ν(U)

bzw. aufgrund der Substitutionsregel (Satz 4.4)

(μ_{X} ∘ V(η))(ν)(U) = ∫_{ξ∈V(X)} ξ(U) dV(η)(ν)
= ∫_{ξ∈V(X)} ξ(U) dν ∘ η^{−1}
= ∫_{x∈X} η_{x}(U) dν
= ν(U)

Um die Kommutativität des letzten Diagramms zu zeigen, sei ν ∈ V^{3}(X). Wir wenden nun Hilfssatz 6.1 auf V(X) an, so erhalten wir

(μ_{X} ∘ μ_{V(X)})(ν)(U) = ∫_{ξ∈V(()X)} ξ(U) d(μ_{V(X)}(ν))
= ∫_{ψ∈V^{2}(X)}(∫_{ξ∈V(X)} ξ(U) dψ) dν

(wegen Hilfssatz 6.1)

= ∫_{ψ∈V^{2}(X)} μ_{X}(ψ)(U) dν
= ∫_{ψ∈V^{2}(X)} ε_{U}(μ_{X}(ψ)) dν
= ∫_{ξ∈V(X)} ξ(U) d(ν ∘ μ_{X}^{−1})

(Subsitutionsregel Satz 4.4)

= ∫_{ξ∈V(X)} ξ(U) d(V(μ_{X})(ν))
= (μ_{X} ∘ (V(μ_{X})))(ν)(U)

Damit haben wir auch die Kommutativität des dritten Diagramms gezeigt; also ist V eine Monade.

Korollar 6.1 V, eingeschränkt auf die volle Unterkategorie Cont _{ω}, ist eine Monade.

Beweis: Dies ist für jede Einschränkung einer Monade auf eine volle Unterkategorie gültig, sofern die Einschränkung ein Endofunktor der Unterkategorie ist.

Die Algebren der Monade V

Definition 7.1 Eine Algebra zu einer Monade (V, μ, η) auf einer Kategorie C ist ein Objekt A in C mit einem Morphismus α : V(A) → A, so daß folgende Diagramme kommutieren:

[figure: A; V(A); A; η_{A}; α; =; V^{3}(A); V^{2}(A); V^{2}(A); V(A); V(α); μ_{V(A)}; α; α]

Für zwei Algebren (A, α) und (B, β) nennt man einen V–Morphisums f : A → B einen Morphismus von Algebren, wenn f folgendes Diagramm erfüllt:

[figure: V(A); V(B); A; B; V(f); α; β; f]

Die Gesamtheit aller V–Algebren und Algebren–Morphismen bildet eine Kategorie C^{V}. Insbesondere besagen obige Diagramme, daß die Abbildung α ein Morphismus von Algebren ist; und daß (V(X), μ_{X}) für jedes X ∈ C eine Algebra ist. Diese Zuordnung ist sogar ein Funktor und hat eine rechte Adjungierte, nämlich den Vergißfunktor, der jeder Algebra (A, α) das zugrundeliegende Objekt A zuordnet.

In diesem Abschnitt werden wir die Algebren von V bestimmen. Wir stellen zuerst fest, daß die Monade eine bestimmte Operation auf einer V–Algebra (A, α) induziert.

DIE ALGEBREN DER MONADE V 57

Definition 7.2 Sei (A, α) eine V–Algebra; dann definieren wir für alle a, b ∈ A und r ∈ \overline{IR}_{+}

a ⊕ b := α(η_{a} + η_{b})
r ⊙ a := α(r · η_{a})

Das Bild der Bewertung, die alle offenen Mengen auf 0 abbildet, wollen wir mit 0 bezeichnen.

Diese Operationen erfüllen nun folgende Bedingungen:

Hilfssatz 7.1 A ist, ausgestattet mit den oben definierten Operationen, ein Bereichskegel, d.h. die Operationen erfüllen für a, b, c ∈ A und r, s ∈ \overline{IR}_{+} folgende Gleichungen:

(a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c)  (7.1)
(a ⊕ b) = b ⊕ a
(a ⊕ 0) = 0
(1 ⊙ a) = a
(r · s) ⊙ a = r ⊙ (s ⊙ a)
r ⊙ (a ⊕ b) = (r ⊙ a) ⊕ (r ⊙ b)
(r + s) ⊙ a = (r ⊙ a) ⊕ (s ⊙ a)

Ferner sind beide Operationen monoton und Scott–stetig in beiden Komponenten, und 0 ist das kleinste Element von A. Damit ist (A, ⊕, ⊙) ein stetiger Kegel.

Beweis: Die Gleichungen lassen sich durch Nachrechnen beweisen; als Beispiel zeigen wir hier nur die Transitivität von ⊕:

Seien a, b, c ∈ A. Wir zeigen, daß α(η_{a} + η_{b} + η_{c}) = (a ⊕ b) ⊕ c gilt; entsprechend läßt sich α(η_{a} + η_{b} + η_{c}) = a ⊕ (b ⊕ c) herleiten.

Es gilt

α(η_{a} + η_{b} + η_{c}) = α(η_{X}(a) + η_{X}(b) + η_{X}(c))
= α((μ_{A} ∘ η_{V(X)})(η_{X}(a) + η_{X}(b)) + (μ_{A} ∘ η_{V(X)})(η_{X}(c)))
= (α ∘ μ_{A})(η_{V(X)}(η_{X}(a) + η_{X}(b)) + η_{V(X)}(η_{X}(c)))
= (α ∘ V(α))(η_{V(X)}(η_{X}(a) + η_{X}(b)) + η_{V(X)}(η_{X}(c)))
= α(η_{V(X)}(η_{X}(a) + η_{X}(b)) ∘ α^{−1} + η_{V(X)}(η_{X}(c)) ∘ α^{−1})
= α((η_{X} ∘ α)(η_{X}(a) + η_{X}(b)) + (η_{X} ∘ α)(η_{X}(c)))
= α(η_{X}(a ⊕ b) + η_{X}(c))
= (a ⊕ b) ⊕ c

Die Monotonie und Stetigkeit der Operationen folgen aus der Tatsache, daß sie Hintereinanderausführungen Scott–stetiger Abbildungen sind.

Definition 7.3 Die Kategorie aller stetigen Kegel mit linearen stetigen Abbildungen als Morphismen wollen wir im folgenden CCone nennen.

Wir wollen nun beweisen, daß die Kategorie der V–Algebren “gleich” CCone ist, d.h. die Kategorien äquivalent sind. Dazu definieren wir je einen Funktor C : Cont^{V} → CCone und A : CCone → Cont^{V} und zwei natürliche Transformationen ε : 1CCone → C ∘ A und δ : 1Cont^{V} → A ∘ C.

Hilfssatz 7.2 Jede V–Algebra (A, α) ist mit den oben definierten Operationen ein stetiger Kegel C(A) := (A, ⊕_{A}, ⊙_{A}), und jeder Algebren–Morphismus f : (A, α) → (B, β) ist ein Morphismus C(f) : (A, ⊕_{A}, ⊙_{a}) → (B, ⊕_{B}, ⊙_{B}) von stetigen Kegeln.

Die so definierte Abbildung C : Cont ^{V} → CCone ist ein Funktor.

Beweis: Daß jede Algebra ein stetiger Kegel ist, wurde bereits in Hilfssatz 7.1 bewiesen. Sei nun f : (A, α) → (B, β) Morphismus von Algebren. Dann gilt

f(a ⊕_{A} b) = f(α(η_{a} + η_{b}))
= β(V(f)(η_{a} + η_{b}))
= β((η_{a} + η_{b}) ∘ f^{−1})
= β(η_{f(a)} + η_{f(b)})
= f(a) ⊕_{B} f(b)
f(r ⊙_{A} a) = f(α(r · η_{a}))
= β(V(f)(r · η_{a}))
= β(r · η_{f(a)})
= r ⊙_{B} f(a)

Also ist f bezüglich der induzierten Operationen auf A und B linear und damit ein Morphismus stetiger Kegel.

Da C offensichtlich Hintereinanderausführungen von Morphismen erhält, sowie die Identität auf die Identität abbildet, ist C ein Funktor.

Bemerkung 7.1 Bekanntlich ist (V(X), μ_{X}) für jeden stetigen Bereich X eine V–Algebra; also können wir V(X) mit den Kegeloperationen ausstatten und erhalten C(V(X)) = (V(X), ⊕_{V(X)}, ⊙_{V(X)}). Nach obigem wissen wir nun, daß C ∘V als Hintereinanderausführung von Funktoren wieder ein solcher ist. Die so gewonnenen Kegel haben jedoch noch eine weitere Eigenschaft:

Hilfssatz 7.3 Es gilt (V(X), ⊕_{V(X)}, ⊙_{V(X)}) = (V(X), +, ·), d.h. die Kegeloperationen sind die Addition und Skalarmultiplikation von Funktionen.

Beweis: Nach Satz 4.4 ist die Integration bezüglich einer festen Funktion eine Linearform auf V(X). Damit folgt durch Ausrechnen:

(φ ⊕_{V(X)} ψ)(U) = μ_{X}(η_{φ} + η_{ψ})(U)
= ∫_{ξ∈V(X)} ξ(U) d(η_{φ} + η_{ψ})
= ∫_{ξ∈V(X)} ξ(U) dη_{φ} + ∫_{ξ∈V(X)} ξ(U) dη_{ψ}
= φ(U) + ψ(U)
= (φ + ψ)(U)
(r ⊙_{V(X)} ψ)(U) = μ_{X}(r · η_{ψ})(U)
= ∫_{ξ∈V(X)} ξ(U) d(r · η_{ψ})
= r · ∫_{ξ∈V(X)} ξ(U) dη_{ψ}
= r · ψ(U)
= (r · ψ)(U)

Hilfssatz 7.4 Sei (X, ⊕, ⊙) ein stetiger Kegel. Für eine einfache Bewertung ξ = ∑_{i=1}^{n} r_{i}η_{a_{i}} definiere

α_{X}(ξ) := ⨁_{i=1}^{n} r_{i} ⊙ a_{i}

Dies ist wohldefiniert, monoton und linear. Für μ ∈ V(X) definiere

α_{X}(μ) := sup {α_{X}(ξ) | ξ ≪ μ einfach}

Dann ist α_{X} stetig, A(X) := (X, α_{X}) ist eine V–Algebra, und die durch α_{X} induzierten Operationen stimmen mit den ursprünglichen überein, d.h. C(A(X)) = (X, ⊕, ⊙).

Ferner ist jeder Kegelmorphismus f : X → Y in CCone ein Morphismus A(f) : A(X) → A(Y) von V–Algebren bezüglich der oben definierten Algebren–Abbildung α_{X}.

Schließlich ist A : CCone → Cont ^{V} ein Funktor.

Beweis: Aus Lemma 2.1 wissen wir, daß die Darstellung einer einfachen Bewertung eindeutig ist. Damit ist α_{X} für einfache Bewertungen wohldefiniert. Die Linearität folgt durch Nachrechnen.

Zum Beweis der Monotonie seien ξ = ∑_{b∈B} r_{b}η_{b} ≤ ∑_{c∈C} s_{c}η_{c} = χ einfache Bewertungen. Nach dem Splitting-Lemma (Satz 2.1) existieren t_{b,c} ∈ IR_{+}, so daß t_{b,c} ≠ 0 nur dann, wenn b ≤ c, und ferner gilt:

∑_{c∈C} t_{b,c} = r_{b}
∑_{b∈B} t_{b,c} ≤ s_{c}

Damit können wir schreiben

α_{X}(ξ) = ⨁_{b∈B} r_{b} ⊙ b
= ⨁_{b∈B} ( ∑_{c∈C} t_{b,c}) ⊙ b
= ⨁_{c∈C} ⨁_{b∈B} t_{b,c} ⊙ b
= ⨁_{c∈C} ( ∑_{b∈B} t_{b,c}) ⊙ b
≤ ⨁_{c∈C} s_{c} ⊙ b
= α_{X}(χ)

Also ist α_{X} monoton auf den einfachen Bewertungen.

Insbesondere gelten die Gleichungen

α_{X}(η_{a}) = a  (7.2)
α_{X}(η_{a} + η_{b}) = a ⊕ b  (7.3)
α_{X}(r · η_{a}) = r ⊙ a  (7.4)

Wenn wir nun noch beweisen, daß (X, α_{X}) tatsächlich eine V–Algebra ist, folgt hieraus, daß die durch α_{X} induzierten Kegeloperationen gleich den ursprünglichen Operationen auf X sind.

Sei nun μ eine beliebige Bewertung. Aufgrund der eben festgestellten Monotonie bezüglich einfacher Bewertungen ist die Menge {α_{X}(μ) | ξ ≪ μ einfach} gerichtet und hat demnach ein Supremum in X. Wir definieren daher

α_{X}(μ) := sup {α_{X}(μ) | ξ ≪ μ einfach}

Für einfache Bewertungen ξ stimmt diese Definition mit der ursprünglichen überein: Jede einfache Bewertung ξ = ∑_{b∈B} r_{b}η_{b} ist darstellbar als

ξ = sup { ∑_{b∈B} s_{b}η_{b′}|b′ ≪ b, s_{b} < r_{b}}

und die approximierenden Bewertungen sind weit unter ξ. Da die Kegeloperationen Scott– stetig sind, erhalten sie dieses Supremum.

Daher ist α_{X} auf ganz V(X) wohldefiniert.

Zunächst müssen wir beweisen, daß die oben definierte Abbildung α stetig ist; monoton ist sie sicherlich. Sei dazu D ⊆ V(X) gerichtet, dann ist

α_{X}(sup D) = sup { ⨁_{i=1}^{n} r_{i} ⊙ a_{i}| ∑_{i=1}^{n} r_{i}η_{a_{i}} ≪ sup D}
= sup { ⨁_{i=1}^{n} r_{i} ⊙ a_{i}|∃μ ∈ D. ∑_{i=1}^{n} r_{i}η_{a_{i}} ≪ μ}
= sup_{μ∈D} sup { ⨁_{i=1}^{n} r_{i} ⊙ a_{i}| ∑_{i=1}^{n} r_{i}η_{a_{i}} ≪ μ}
= sup_{μ∈D} α_{X}(μ)

Um zu zeigen, daß (A(X), α_{X}) eine V–Algebra ist, müssen wir die Gültigkeit der Diagramme zeigen. Nach Gleichung (7.2) gilt α_{X} ∘ η = 1_{V(X)}, d.h. das linke Dreiecksdiagramm kommutiert.

Nach den Gleichungen (7.3) und (7.4) sind die durch α_{X} auf X induzierten Operationen gleich den ursprünglich auf X definierten.

Um die Kommutativität des zweiten Diagramms zu zeigen, also die Gleichung α_{X} ∘ μ_{X} = α_{X} ∘ V(α_{X}) herzuleiten, betrachten wir zunächst einfache Bewertungen. Sei dazu ν := ∑_{i=1}^{n} r_{i}η_{ξ_{i}} ∈ V^{2}(X) und U ∈ O(X). Dann ist

V(α_{X})(ν) = V(α_{X}) (∑_{i=1}^{n} r_{i}η_{ξ_{i}})

= (∑_{i=1}^{n} r_{i} · η_{ξ_{i}}) ∘ α^{−1}
= ∑_{i=1}^{n} r_{i} · (η_{ξ_{i}} ∘ α_{X}^{−1})
= ∑_{i=1}^{n} r_{i} · η_{α_{X}(ξ_{i})}

μ_{X}(ν)(U) = ∫_{χ∈V(X)} χ(U) d (∑_{i=1}^{n} r_{i}η_{ξ_{i}})

= ∑_{i=1}^{n} r_{i} · ∫_{χ∈V(X)} χ(U) dη_{ξ_{i}}
= ∑_{i=1}^{n} r_{i} · ξ_{i}(U)
= (∑_{i=1}^{n} r_{i} · ξ_{i})(U)

Da α_{X} linear ist, folgt

α_{X}(V(α_{X})(ν)) = α_{X}( ∑_{i=1}^{n} r_{i} · η_{α_{X}(ξ_{i})})
= ⨁_{i=1}^{n} r_{i} ⊙ α_{X}(η_{α_{X}(ξ_{i})})
= ⨁_{i=1}^{n} r_{i} ⊙ α_{X}(ξ_{i})
= α_{X}( ∑_{i=1}^{n} r_{i} · ξ_{i})
= α_{X}(μ_{X}(ν))

Da μ_{X}, α_{X}, V(α_{X}) stetig sind, erhalten sie gerichtete Suprema einfacher Bewertungen, und alle stetigen Bewertungen sind auf diese Weise darstellbar; also gilt die Gleichung (α_{X} ∘ μ_{X})(ν) = (α_{X} ∘ V(α_{X}))(ν) für alle ν ∈ V(X). Damit ist gezeigt, daß α_{X} beide Diagramme erfüllt: (X, α_{X}) ist eine V–Algebra.

Daraus folgt nun direkt, daß α_{X} Algebren–Morphismus sein muß, also auch die von α_{X} auf X induzierten Operationen ⊕_{A(X)} und ⊙_{A(X)} erhält. Da diese aber mit den ursprünglichen Operationen auf X übereinstimmen, ist

α_{X} : (V(X), ⊕_{V(X)}, ⊙_{V(X)}) → (X, ⊕_{X}, ⊙_{X})

ein Morphismus stetiger Kegel.

Sei nun ein Morphismus f : (X, ⊕_{X}, ⊙_{X}) → (Y, ⊕_{Y} , ⊙_{Y}) stetiger Kegel gegeben. Wir beweisen, daß f auch ein Morphismus der zugeordneten Algebren (X, α_{X}) und (Y, α_{Y}) ist. Dazu müssen wir zeigen, daß das entsprechende Diagramm kommutiert. Für Punktbewertungen kommutiert es trivialerweise, da

f(α_{X}(η_{x})) = f(x) = α_{Y} (η_{f(x)}) = α_{Y} (V(f)(η_{x}))

Da f, V(f), α_{X} und α_{Y} linear sind, kommutiert das Diagramm auch für beliebige einfache Bewertungen und für μ ∈ V(X) folgt

f(α_{X}(μ)) = f(α_{X}( sup { ∑_{i=1}^{n} r_{i}η_{a_{i}}| ∑_{i=1}^{n} r_{i}η_{a_{i}} ≪ μ}))
= sup {f(α_{X}( ∑_{i=1}^{n} r_{i}η_{a_{i}}))| ∑_{i=1}^{n} r_{i}η_{a_{i}} ≪ μ}
= sup {α_{Y} (V(f)( ∑_{i=1}^{n} r_{i}η_{a_{i}}))| ∑_{i=1}^{n} r_{i}η_{a_{i}} ≪ μ}
= α_{Y} (V(f)( sup { ∑_{i=1}^{n} r_{i}η_{a_{i}}| ∑_{i=1}^{n} r_{i}η_{a_{i}} ≪ μ}))
= α_{Y} (V(f)(μ))

Also ist f auch ein Morphismus der V–Algebren (X, α_{X}) und (Y, α_{Y}).

Da die Zuordnung von Kegelmorphismen zu Algebrenmorphismen die Identität ist, erhält sie sowohl die Hintereinanderausführung von Morphismen als auch die Einsabbildungen. Also ist A : CCone → Cont^{V} ein Funktor.

Satz 7.1 Die beiden Funktoren C und A bilden eine kategorientheoretische Äquivalenz.

Genauer gesagt, A : CCone → Cont ^{V} und C : Cont ^{V} → CCone sind kovariante Funktoren, und es existieren natürliche Transformationen 1Cont ^{V} → A∘C und 1CCone → C ∘ A.

Beweis: Wir zeigen, daß C ∘ A = 1CCone und A ∘ C = 1Cont^{V} gilt. Insbesondere ist 1C → 1C in jeder Kategorie C eine natürliche Transformation, also haben wir dann das gewünschte bewiesen.

Sei also (A, α) eine Algebra, dann betrachten wir A(C(A)) = (A, α_{C(A)}) und müssen zeigen, daß α = α_{C(A)} ist. Sei dazu ν ∈ V(A)

α_{C(A)}(ν) = sup { ⨁_{i=1}^{n} r_{i} ⊙ a_{i}| ∑_{i=1}^{n} r_{i}η_{a_{i}} ≪ ν}
= sup {α(∑_{i=1}^{n} r_{i}η_{a_{i}})| ∑_{i=1}^{n} r_{i}η_{a_{i}} ≪ ν}
= α(ν)

Also ist A(C(A)) = (A, α). Da die Funktoren A und C die Morphismen festlassen und sie nur als Morphismus einer anderen Kategorie interpretieren, ist offensichtlich A ∘ C = 1Cont^{V}.

Sei nun ein Kegel (X, ⊕_{X}, ⊙_{X}) gegeben. Nach Hilfssatz 7.4 sind die durch α_{X} induzierten Operationen gleich den ursprünglichen Kegeloperationen auf X, also ist

C(A(X)) = (X, ⊕_{A(X)}, ⊙_{A(X)}) = (X, ⊕_{X}, ⊙_{X})

Für Kegelmorphismen gilt das oben für Algebren gesagte, also können wir C ∘A = 1CCone folgern.

Dualitätssätze

8.1 Lineare Funktionale auf einem Kegel

Zunächst wollen wir den Zusammenhang zwischen L(X) und V(X) näher untersuchen. Aus Satz 4.3 wissen wir, daß die Abbildungen

I(·)(f) : μ ↦ ∫ f dμ
I(μ)(·) : f ↦ ∫ f dμ

jeweils für alle f ∈ L(X) beziehungsweise μ ∈ V(X) linear und stetig sind, falls X corekompakt ist. Wir wollen nun die Dualräume dieser beiden Räume betrachten, d.h. die Menge der stetigen linearen Funktionale.

Definition 8.1 Sei C ein Bereichskegel. Dann bezeichnen wir mit C^{∗} die Menge aller Scottstetigen linearen Abbildungen Λ : C → \overline{IR}_{+} mit der gewöhnlichen punktweisen Ordnung. Für eine lineare stetige Abbildung f : C_{1} → C_{2} definieren wir ferner f^{∗} : C_{2}^{∗} → C_{1}^{∗} : Λ ↦ Λ ∘ f.

Lemma 8.1 ^{∗} ist ein Endofunktor der Kategorie DCone aller Bereichskegel.

Beweis: Für einen Bereichskegel C ist C^{∗} sicherlich wieder ein Kegel bezüglich der Addition und Skalarmultiplikation von Funktionen. Ferner ist C^{∗} ein Bereich, da das punktweise Supremum Scott-stetiger Funktionen wieder Scott-stetig ist. Linearität bleibt ebenfalls erhalten, da Addition und Multiplikation in IR_{+} Scott-stetig sind.

Ist f : C_{1} → C_{2} stetig und linear, so ist Λ ∘ f für jedes Λ ∈ C_{2}^{∗} stetig und linear. Sicherlich ist f^{∗} selber Scott-stetig.

Der folgende Satz ist eine Verallgemeinerung des Rieszschen Darstellungssatzes für stetige Bewertungen auf core-kompakten Räumen:

Satz 8.1 (Rieszscher Darstellungssatz) Für jeden core-kompakten Raum X ist

ϕ_{X} : V(X) → L(X)^{∗} : μ ↦ I(μ)(·)

ein Isomorphismus von Bereichskegeln. D.h., für jede lineare stetige Abbildung Λ : L(X) → \overline{IR}_{+} existiert genau eine stetige Bewertung μ auf X, so daß Λ(f) = ∫ f dμ für alle f ∈ L(X).

Beweis: Aus Satz 4.3 wissen wir, daß ϕ_{X} wohldefiniert ist.

Zum Beweis der Surjektivität sei Λ ∈ L(X)^{∗}. Wir definieren für alle U ∈ O(X)

μ(U) := Λ(χ_{U}),

wobei χ_{U} die charakteristische Funktion von U sei. Für gerichtete Familien D ⊆ O(X) gilt

μ( ⋃ D) = Λ(sup_{U∈D} χ_{U})
= sup_{U∈D} Λ(χ_{U})
= sup_{U∈D} μ(U)

d.h., μ ist Scott-stetig. Ferner gilt für offene Mengen U, V ∈ O(X)

μ(U) + μ(V) = Λ(χ_{U} + χ_{V})
= Λ(χ_{U∪V} + χ_{U∩V})
= μ(U ∪ V) + μ(U ∩ V)

Also ist μ modular. Die Striktheit folgt mit μ(∅) = Λ(χ_{∅}) = Λ(0) = 0. Also ist μ eine stetige Bewertung auf X.

Für einfache Funktionen s : X → IR_{+} mit s = ∑_{i=1}^{n} α_{i}χ_{U_{i}} können wir nun schließen

Λ(s) = ∑_{i=1}^{n} α_{i}Λ(χ_{U_{i}})
= ∑_{i=1}^{n} α_{i}μ(U_{i})
= ∫ s dμ

Hieraus folgt für beliebiges f ∈ L(X) aus der Definition des Integrals:

Λ(f) = sup {Λ(s)|s ≤ f einfach}
= sup { ∫ s dμ|s ≤ f einfach}
= ∫ f dμ

Also ist Λ = I(μ)(·).

ϕ_{X} ist injektiv, da nach Hilfssatz 4.2 genau dann μ ≤ ν gilt, wenn die Beziehung ∫ f dμ ≤ ∫ f dν für alle f ∈ L(X) erfüllt ist. Sowohl ϕ_{X} also auch die Umkehrabbildung sind stetig, also ist ϕ_{X} ein Homöomorphismus bezüglich der Scott-Topologien auf L(X) und V(X).

Die Linearität von ϕ_{X} folgt sofort aus Satz 4.3.

Es stellt sich nun die Frage, was wir über den doppelt dualen Raum aussagen können. Es stellt sich heraus, daß wir im Falle, daß X ein stetiger Bereich ist, wieder den ursprünglichen Funktionenraum L(X) erhalten.

Lemma 8.2 Sei X stetiger Bereich. Dann ist

ψ_{X} : L(X) → V(X)^{∗} : f ↦ I(·)(f)

ein Isomorphismus von Bereichskegeln, d.h. linear und ein Homöomorphismus bezüglich der Scott-Topologie.

Beweis: Wiederum aus Satz 4.3 wissen wir, daß ψ_{X} linear und stetig ist.

Sei nun Λ ∈ V(X)^{∗}, dann definieren wir

f(x) := Λ(η_{x})

Als Hintereinanderausführung stetiger Abbildungen ist f wieder stetig, also ist f ∈ L(X).

Für einfache Bewertungen ξ ∈ V(X) mit ξ = ∑_{a∈A} r_{a}η_{a} folgt zunächst

Λ(ξ) = ∑_{a∈A} r_{a}Λ(η_{a})
= ∑_{a∈A} r_{a}f(a)
= ∑_{a∈A} r_{a} ∫ f dη_{a}
= ∫ f d∑_{a∈A} r_{a}η_{a}
= ∫ f dξ

und für beliebige stetige Bewertungen μ gilt dann

Λ(μ) = sup {Λ(ξ)|ξ ≤ μ einfach}
= sup { ∫ f dξ|ξ ≤ μ einfach}
= ∫ f d( sup {ξ | ξ ≤ μ einfach})
= ∫ f dμ

Also ist ψ_{X} surjektiv. Ist Λ_{1} ≤ Λ_{2} ∈ V(X)^{∗}, so folgt f_{1}(x) = Λ_{1}(η_{x}) ≤ Λ_{2}(η_{x}) = f_{2}(x). Also f_{1} ≤ f_{2} genau dann, wenn ψ_{X}(f_{1}) ≤ ψ_{X}(f_{2}). Daraus folgt die Injektivität von ψ_{X}, sowie die Homöomorphie.

Damit ist ψ_{X} ein Isomorphismus von Bereichskegeln.

Satz 8.2 Für einen stetigen Bereich X sind L(X) und V(X) bezüglich des Funktors ^{∗} dual zueinander, d.h. es existieren natürliche Isomorphismen ϕ : V → L^{∗} und ψ : L → V^{∗}.

Beweis: Mit Satz 8.1 und Lemma 8.2.

8.2 Die Kleisli-Kategorie

Zur Monade V kann man neben der Kategorie Cont^{V} der Algebren auch noch die Kleisli-Kategorie Cont_{V} konstruieren. Ihre Objekte sind die Objekte der Kategorie Cont, also stetige Bereiche, und f ist Kleisli-Morphismus von X nach Y, falls f eine stetige Abbildung f : X → V(X) ist (d.h. Cont-Morphismus X → V(Y)).

Die Hintereinanderausführung von Morphismen der Kleisli-Kategorie wird folgendermaßen definiert: Seien f : X → Y und g : Y → Z in Cont_{V}. Also ist g eine Abbildung g : Y → V(Z), und da V eine Monade ist, existiert genau eine Fortsetzung g^{∗} : V(Y) → V(Z) mit g = g^{∗} ∘ η_{Y}. Damit setzen wir

g ∘_{Cont_{V}} f := g^{∗} ∘Cont f

Die Fortsetzung g^{∗} : V(Y) → V(Z) ist definiert durch g^{∗} = μ_{Z} ∘ V(g).

Bemerkung 8.1 Bei dieser Operation ^{∗} handelt es sich um die in der Einleitung erwähnte Fortsetzungsoperation, die es ermöglicht, die Semantiken zweier probabilistischen Programmschritte zu verknüpfen.

Sei F : Cont_{V} → Cont derjenige Funktor, der jedem stetigen Bereich den Raum V(X) zuordnet, sowie jedem Cont_{V}-Morphismus f : X → Y die stetige Abbildung f^{∗} : V(X) → V(Y). Dieser Funktor ist kovariant und hat eine rechte Adjungierte U : Cont → Cont_{V}, die die Objekte X festläßt und einen Cont-Morphismus f : X → Y auf η_{Y} ∘ f : X → V(Y) abbildet, was in der Kleisli-Kategorie ein Morphismus von X nach Y ist.

In diesem Abschnitt wollen wir nun die Kleisli-Kategorie Cont_{V} näher charakterisieren und zeigen, daß sie dual ist zur Kategorie der Funktionenräume L(X) über stetigen Bereichen X mit den stetigen linearen Abbildungen als Morphismen. Eine interne Charakterisierung dieser Kategorie ist mir nicht gelungen, so daß wir im folgenden von ihren Objekten immer als L(X), L(Y) etc. reden werden. Um formal zu bleiben, müssen wir die Kategorie folgendermaßen definieren:

Definition 8.2 Sei F die Kategorie, deren Objekte von der Form (X, L(X)) sind, wobei X ein stetiger Bereich ist, und L(X) die Menge aller Scott-stetigen Abbildungen f : X → \overline{IR}_{+} ist. Ein Morphismus f : (X, L(X)) → (Y, L(Y)) ist eine lineare stetige Abbildung f : L(X) → L(Y); die Hintereinanderausführung von Morphismen ist die Verkettung dieser Abbildungen.

Wir definieren nun zwei Funktoren T und R, die zwischen Cont_{V} und F vermitteln:

Satz 8.3 Wir definieren eine Zuordnung T : Cont _{V} → F, indem wir jedem X ∈ Cont _{V} den Raum L(X) zuordnen und jedem Morphismus f : X → Y — also jeder stetigen Abbildung f : X → V(Y) — die Abbildung T (f) : L(Y) → L(X), definiert durch

T (f)(g)(x) := ∫_{y∈Y} g df(x)

für alle g ∈ L(Y) und x ∈ X.

Ferner definieren wir R : F → Cont _{V}, indem wir jedem Objekt (X, L(X)) den Raum X zuordnen. Zu jeder linearen stetigen Abbildung Λ : L(Y) → L(X) und jedem x ∈ X definieren wir die Abbildung

g ↦ Λ(g)(x) : L(Y) → \overline{IR}_{+}

Diese Abbildung ist linear und stetig, also existiert nach dem Riesz’schen Darstellungssatz 8.1 eine stetige Berwertung μ_{x} ∈ V(Y), so daß für alle g ∈ L(Y)

Λ(g)(x) = ∫_{y∈Y} g dμ_{x}

Dabei gilt μ_{x}(U) = Λ(χ_{U}).

Wir setzen R(Λ)(x) := μ_{x} und erhalten eine Abbildung R(Λ) : X → V(Y). Dies ist wohldefiniert und stetig, also ist dies ein Kleisli-Morphismus R(Λ) : X → Y.

Die Zuordnungen R und T sind kontravariante Funktoren.

Beweis: Zunächst betrachten wir T . Seien f : X → V(Y) und g ∈ L(Y) fest, und sei D ⊆ X gerichtet. Dann ist

T (f)(g)(sup D) = ∫_{y∈Y} g(y) df(sup D)
= sup_{x∈D} ∫_{y∈Y} g(y) df(x)
= sup_{x∈D} T (f)(g)(x)

Also ist T (f)(g) Scott–stetig. Da das Integral außerdem linear ist und gerichtete Suprema stetiger Funktionen erhält, ist T (f) ebenfalls linear und stetig; also ein Morphismus in F.

Um zu zeigen, daß T die Hintereinanderausführung von Morphismen erhält, seien f_{1} : X → Y und f_{2} : Y → Z Morphismen in Cont_{V}. Dann ist für g ∈ L(Z) und x ∈ X

T (f_{2} ∘ f_{1})(g)(x) = ∫_{z∈Z} g d(f_{2} ∘ f_{1})(x)
= ∫_{z∈Z} g df_{2}^{∗}(f_{1}(x))
= ∫_{z∈Z} g d(μ_{Z} ∘ V(f_{2}))(f_{1}(x))
= ∫_{ζ∈V(Z)} (∫_{z∈Z} g dζ) dV(f_{2})(f_{1}(x))

(nach Satz 6.1)

= ∫_{ζ∈V(Z)} (∫_{z∈Z} g dζ) df_{1}(x) ∘ f_{2}^{−1}
= ∫_{y∈Y} (∫_{z∈Z} g df_{2}(y)) df_{1}(x)

(nach Satz 4.4)

= ∫_{y∈Y} (T (f_{2})(g)(y)) df_{1}(x)
= T (f_{1})(T (f_{2})(g))(x)
= (T (f_{1}) ∘ T (f_{2}))(g)(x)

Für alle linearen und stetigen Λ : L(Y) → L(X) ist die Abbildung R(Λ) : X → V(Y) stetig. Zum Beweis sei D ⊆ X gerichtet und habe x als Supremum. Dann ist für jede offene Menge U ∈ O(Y)

R(Λ)(x)(U) = Λ(χ_{U})(x)
= sup_{z∈D} Λ(χ_{U})(z)
= sup_{z∈D} R(Λ)(z)(U)

Also ist R(Λ) stetig und somit ein Morphismus in Cont_{V}. Für die Hintereinanderausführung von Funktionen Λ : L(Y) → L(X) und M : L(Z) → L(Y) zeigen wir:

R(Λ ∘ M)(x)(U) = (Λ ∘ M)(χ_{U})(x)
= Λ(M(χ_{U}))(x)
= ∫_{y∈Y} M(χ_{U})(y) dR(Λ)(x)
= ∫_{y∈Y} R(M)(y)(U) dR(Λ)(x)

Für die Verkettung von Morphismen in Cont_{V} gilt nun

(R(M) ∘_{Cont_{V}} R(Λ))(x)(U) = R(M)^{∗}(R(Λ)(x))(U)
= ∫_{y∈Y} R(M)(y)(U) dR(Λ)(x)
= R(Λ ∘ M)(x)(U)

Die übrigen Funktor-Eigenschaften weist man durch Ausrechnen nach.

Wir können nun folgenden Satz beweisen:

Satz 8.4 Die Kleisli-Kategorie Cont _{V} ist dual zur Kategorie F. Genauer gesagt, bildet das Funktorenpaar R, T eine Dualität, und es gilt 1_{Cont _{V}} = R ∘ T und 1F = T ∘ R.

Beweis: Um den Satz zu beweisen, müssen wir nur zeigen, daß die Hintereinanderausführungen der beiden Funktoren gleich der Identität auf der jeweiligen Kategorie ist, denn die Identität ist in jedem Falle ein natürlicher Isomorphismus.

Sei zuerst X ∈ Cont_{V}, dann ist (R ∘ T )(X) = R(L(X)) = X. Für einen Morphismus f : X → Y in Cont_{V} ist für g ∈ L(Y) und x ∈ X

T (f)(g)(x) = ∫_{y∈Y} g(y) df(x)

Für jedes x ∈ X ordnet R nun der Abbildung T (f)(·)(x) die Bewertung μ_{x} zu, so daß für alle g ∈ L(Y)

T (f)(g)(x) = ∫_{y∈Y} g(y) dμ_{x}

Nach dem Riesz’schen Darstellungssatz ist μ_{x} aber eindeutig bestimmt, also muß bereits μ_{x} = f(x) sein. Daher gilt R(T (f)) = f, und es folgt R ∘ T = 1_{Cont_{V}}.

Nun sei andererseits L(X) ∈ F. Sicher ist dann T (R(L(X))) = X. Für einen F-Morphismus Λ : L(Y) → L(X) gilt Λ(g)(x) = ∫_{y∈Y} g dR(Λ)(x), und

T (R(Λ))(g)(x) = ∫_{y∈Y} g(y) dR(Λ)(x) = Λ(g)(x)

Also ist T ∘ R = 1F.

8.3. DIE SCHWACHE TOPOLOGIE AUF V(X) 71

8.3 Die Schwache Topologie auf V(X)

Definition 8.3 Für einen topologischen Raum X definieren wir die schwache Topologie auf V(X) als die gröbste, bezüglich der alle Abbildungen I(f)(·) : V(X) → \overline{IR}_{+} stetig sind.

Als Produkttopologie auf V(X) bezeichnen wir die gröbste Topologie, bezüglich der alle Auswertungsabbildungen ε_{U} : μ ↦ μ(U) mit U ∈ O(X) stetig sind. Dies ist die Spur der Produkttopologie auf L(O(X)).

Satz 8.5 Die schwache Topologie auf V(X) ist gleich der Produkttopologie.

Beweis: Sind alle Abbildungen I(f)(·) stetig, so auch ε_{U} = I(χ_{U})(·).

Andererseits seien alle ε_{U} stetig. Jedes f ∈ L(X) ist gerichtetes Supremum einfacher Funktionen f_{n} mit

f_{n} = 2^{−n} ∑_{i=1}^{n·2^{n}} χ_{f^{−1}((i·2^{−n},∞])}

Außerdem ist I in beiden Komponenten linear und Scott–stetig, weswegen für jede gerichtete Menge D ⊆ V(X) gilt

I(f)(sup D) = sup_{n∈IN} 2^{−n} ∑_{i=1}^{n·2^{n}} I(χ_{f^{−1}((i·2^{−n},∞])})(sup D)

= sup_{μ∈D} sup_{n∈IN} 2^{−n} ∑_{i=1}^{n·2^{n}} I(χ_{f^{−1}((i·2^{−n},∞])})(μ)
= sup_{μ∈D} I(f)(μ)

Satz 8.6 Ist X ein stetiger Bereich, so ist die Scott-Topologie auf V(X) gleich der schwachen Topologie.

Beweis: Die schwache Topologie hat eine Subbasis von Mengen der Form

U_{f,r} = {μ | ∫ f dμ > r} ,

wobei f ∈ L(X) und r ≥ 0. Da die Abbildung μ ↦ ∫ f dμ Scott-stetig ist, sind alle diese Mengen sicherlich Scott-offen. Also ist die Scott-Topologie feiner als die schwache Topologie.

Sei nun andererseits U ⊆ V(X) Scott-offen. Um zu zeigen, daß U auch schwach offen ist, müssen wir zu jedem μ ∈ U Funktionen f_{1}, …, f_{n} ∈ L(X) und r_{1}, …, r_{n} ≥ 0 finden, so daß μ ∈ ⋂_{1}^{n} U_{f_{i},r_{i}} ⊆ U ist.

Da X stetig ist, können wir μ durch weit darunterliegende einfache Bewertungen approximieren; also existiert eine einfache Bewertung ξ ≪ μ mit ξ ∈ U. Sei ξ = ∑_{a∈A} r_{a}η_{a} Nach Korollar 5.1 wissen wir aber, daß ξ ≪ μ genau dann gilt, wenn für alle K ⊆ A

∑_{a∈K} r_{a} ≪ μ( ⋃_{a∈K} ↑ ↑ a)

Also ist für r_{K} := ∑_{a∈K} r_{a} und f_{K} := χ_{⋃_{a∈K} ↑ ↑ a}

↑ ↑ ξ = ⋂_{K⊆B} {ν | ∑_{a∈K} r_{a} ≪ ν( ⋃_{a∈K} ↑ ↑ a)}
= ⋂_{K⊆B} {ν | r_{K} ≪ ∫ f_{K} dν}
= ⋂_{∅≠K⊆B} {ν | r_{K} < ∫ f_{K} dν}
= ⋂_{∅≠K⊆B} U_{f_{K},r_{K}}

da in \overline{IR}_{+} für s ≠ 0 genau dann s ≪ t, wenn s < t, und alle Koeffizienten von ξ nach Vereinbarung ungleich Null sind.

Also ist ↑ ↑ ξ schwach offen. Daraus folgern wir, daß jede Scott-offene Menge schwach offen ist.

Bemerkung 8.2 Sei V^{∗} der Funktor, der einem core–kompakten nüchternen Raum den Bereich aller stetigen Bewertungen, ausgestattet mit der schwachen Topologie, zuordnet. Es bleibt zu untersuchen, wann dieser ein Endofunktor der Kategorie Core _{0} aller core– kompakten T_{0}–Räume ist, beziehungsweise einer “vernünftigen” Unterkategorie derselben. Die Monaden–Eigenschaften lassen sich in diesem Fall recht einfach nachweisen, so daß man eine Verallgemeinerung der in den vorangegangenen Kapiteln definierten Monade V erhielte.

8.4. DIE SCHWACHE TOPOLOGIE AUF L(X) 73

8.4 Die Schwache Topologie auf L(X)

Definition 8.4 Für einen topologischen Raum X definiert man die Produkttopologie auf L(X) als die gröbste, bezüglich derer alle Abbildungen ε_{x} : f ↦ f(x) : L(X) → \overline{IR}_{+} stetig sind.

Als schwache Topologie bezeichnen wir die gröbste Topologie, bezüglich derer alle Abbildungen I(·)(μ) : f ↦ ∫ f dμ : L(X) → \overline{IR}_{+} stetig sind, wobei μ ∈ V(X) zu wählen ist.

In diesem Abschnitt wollen wir zeigen, daß im Falle stetiger Bereiche diese Topologien mit der Scott-Topologie auf L(X) zusammenfallen.

Satz 8.7 Für einen stetigen Bereich X ist die Scott–Topologie auf L(X) gleich der Produkttopologie.

Beweis: Da die Auswertungsabbildungen f ↦ f(x) für alle x ∈ X stetig sind, ist die Produkttopologie gröber als die Scott–Topologie.

Sei nun U eine Scott–offene Menge in L(X) und g ∈ U. Nach Proposition 1.3 existiert eine einfache Funktion t ∈ L(X) mit t ≪ g und t ∈ U. Diese Funktion habe die Darstellung t = ⋁_{i∈K} a_{i}χ_{U_{i}}.

Für jedes i ∈ K ist U_{i} = ⋃ {⋃_{x∈B} ↑ ↑ x | B ⊆ U_{i} endlich}. Also existiert für jedes i eine endliche Teilmenge B_{i} von U_{i}, so daß für V_{i} := ⋃_{x∈B_{i}} ↑ ↑ x gilt

t′ := ⋁_{i∈K} a_{i}χ_{V_{i}} ∈ U

Wir setzen nun

U^{∗} := {f ∈ L(X) | ∀i ∈ K.∀x ∈ B_{i}.f(x) > a_{i}}

Zunächst müssen wir zeigen, daß U^{∗} Teilmenge von U ist. Sei dazu f eine beliebige Funktion in U^{∗}, dann folgt für alle y ∈ X und alle x ∈ B_{i} mit x ≪ y

f(y) ≥ f(x) > a_{i} = a_{i}χ_{↑ ↑ x}(y)

Also ist f > sup {a_{i}χ_{↑ ↑ x} | i ∈ K, x ∈ B_{i}}, und dies ist gleich t′. Daher ist U^{∗} ⊆↑ t′ ⊆ U.

Außerdem müssen wir nachprüfen, daß U^{∗} tatsächlich eine Umgebung von g ist. Da t ≪ g ist, gilt nach Lemma 1.3 t^{−1}(↑ a_{i}) ≪ g^{−1}(↑ ↑ a_{i}) für alle i (die linke Menge ist offen, da das Bild von t endlich ist). Da aber t ≥ a_{i}χ_{U_{i}}, ist U_{i} ⊆ t^{−1}(↑ a_{i}), und es gilt

B_{i} ⊆ U_{i} ⊆ t^{−1}(↑ a_{i}) ⊆ g^{−1}(↑ ↑ a_{i})

Das heißt aber, daß g(x) > a_{i} für alle x ∈ B_{i} gilt.

Damit folgt, daß auch g ∈ U^{∗}. Nach der ersten Feststellung dieses Beweises ist U^{∗} auch offen, und daher ist eine Umgebung von g.

Hiermit können wir den (schwächeren) Sachverhalt folgern:

Satz 8.8 Die schwache Topologie auf L(X) ist gleich der Scott–Topologie.

Beweis: Da jede Auswertungsabbildung ε_{x} insbesondere als Integration (nämlich bezüglich η_{x}) darstellbar ist, ist die Produkttopologie gröber als die schwache Topologie. Diese ist aber zugleich gröber als die Scott–Topologie; also stimmen alle diese nach dem oben bewiesenen überein.

Ausblick

9.1 Bewertungen und Maße

Die Frage, die sich bereits bei der Definition des Begriffs “Bewertung” aufdrängt, nämlich nach der Fortsetzbarkeit einer Bewertung zu einem Maß, konnte ich nicht klären. Zunächst ist festzustellen, daß in diesem Zusammenhang bisher nur beschränkte Bewertungen untersucht wurden, ich konnte keine Resultate über die Fortsetzbarkeit stetiger Bewertungen μ : O(X) → \overline{IR}_{+} finden. Hier haben wir aber schon gesehen, daß bereits die Fortsetzung der Bewertung auf die endlich erzeugte Boolesche Mengenalgebra F(X) schon nicht mehr eindeutig sein muß; es ist daher zu erwarten, daß — zumindest im Falle, daß X nicht das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt — auch eine Fortsetzung auf die Borelalgebra nicht mehr eindeutig sein muß.

Claire Jones stellt in ihrer Arbeit ([7]) die Behauptung auf, jedes gerichtete Supremum von einfachen Bewertungen sei zu einem Maß fortsetzbar. Daraus kann man schließen, daß auf einem stetigen Bereich jede stetige Bewertung zu einem eindeutig bestimmten Maß fortsetzbar sei. Ihr Beweis orientiert sich an einem älteren Satz von N. Saheb-Djahromi ([15]), der behauptet, auf ω–algebraischen Bereichen mit kleinstem Element sei das Supremum einer abzählbaren aufsteigenden Kette von einfachen Bewertungen eindeutig zu einem Maß fortsetzbar. Meiner Ansicht nach sind jedoch beide Beweise lückenhaft. Mir ist allerdings weder gelungen, die Beweise zu vervollständigen, noch konnte ich ein Gegenbeispiel finden.

Die Suche nach einem Gegenbeispiel muß sich auf hinreichend “häßliche” Bereiche konzentrieren. Jimmie Lawson beweist nämlich in [9] folgenden Satz:

Satz 9.1 Sei X ein lokal quasikompakter nüchterner Raum mit abzählbarer (topologischer) Basis. Dann ist für eine Abbildung φ : O(X) → IR_{+} äquivalent:

• φ ist eine stetige Bewertung auf X.

• Es existiert ein eindeutig bestimmtes, endliches reguläres Borelmaß ν auf X, so daß für alle U ∈ O(X) gilt ν(U) = φ(U).

Betrachtet man nun einen core–kompakten Raum X, so kann man ihn in einen core– kompakten nüchternen Raum X̂ einbetten.^{1} Dieser Raum ist lokal quasikompakt, und O(X̂) ist ordnungsisomorph zu O(X). Also ist jede stetige Bewertung auf X auch stetige Bewertung auf X̂. Somit ist eine Bewertung auf X genau dann zu einem regulären Maß fortsetzbar, wenn sie es auf X̂ ist. Hat X also eine abählbare Basis, so sind alle beschränkten Bewertungen auch fortsetzbar.

Um also weiteren Aufschluß über die Fortsetzbarkeit von Bewertungen zu erhalten, ist es nötig, entweder die Abzählbarkeitseigenschaft oder die Stetigkeit von O(X) fallen zu lassen. Ich vermute, daß man in beiden Fällen auf stetige Bewertungen stoßen wird, die sich nicht fortsetzen lassen.

Von Interesse ist außerdem, ob beispielsweise jede stetige Bewertung auf einem lokal quasikompakten Raum mit abzählbarer Basis fortsetzbar ist, auch wenn die Fortsetzung nicht eindeutig ist.

9.2 Spezialisierung der Ergebnisse

Die Ergebnisse von Claire Jones lassen sich aus den Ergebnissen der vorliegenden Arbeit mit relativ geringem Aufwand zurückgewinnen. Geht man von der Menge aller stetigen Bewertungen zu der aller durch 1 beschränkten Bewertungen über, so erhält man einen Scott–abgeschlossenen Unterraum von V(X). Damit folgen insbesondere unmittelbar die Stetigkeitsergebnisse aus den Sätzen 5.2 und 5.3. Die Algebren lassen sich als stetige konvexe Kegel charakterisieren (in Jones [7] als “abstract probabilistic domains” bezeichnet) und die Kleisli–Kategorie als die Kategorie aller Funktionenverbände von stetigen Abbildungen f : X → [0, 1].

Ebenso kann man die Resultate über die Monade V auf die volle Unterkategorie aller ω–stetigen Bereiche einschränken und erhält als Algebren alle ω–stetigen Kegel sowie als Kleisli–Kategorie die Kategorie aller Funktionenräume (X, L(X)) über ω–stetigen Bereichen.

1Dies ist der Raum Spec O(X), ausgestattet mit der hull–kernel Topologie. Er wird im Englischen meist als die “sobrification” von X bezeichnet.

9.3 Weiterführende Fragen

Mit Abschluß dieser Arbeit bleiben eine Reihe von Fragen offen. Oben wurde bereits die Fortsetzbarkeit von Maßen angesprochen. Erfolgversprechend ist außerdem eine interne Charakterisierung der Kleisli–Kategorie. Man kann einen nüchternen Ausgangsraum X im dazugehörigen Funktionenverband L(X) verhältnismäßig leicht wiederfinden, da das Spektrum Spec L(X) als Ordnungsprodukt Spec O(X) × IR_{+} ≅ X × IR_{+} darstellbar ist. Betrachtet man nun einen Frame (im Compendium als Heyting–Algebra bezeichnet) L, dessen Spektrum in ein Produkt aus einer Menge X_{L} und den positiven reellen Zahlen zerfällt, so kann man unter einigen zusätzlichen Annahmen über dieses Produkt zeigen, daß der Funktionenverband L(X_{L}) zumindest ordnungsisomorph ist zu L; ich konnte bisher nicht klären, welche zusätzlichen Eigenschaften vonnöten sind, damit dieser Isomorphismus auch linear ist.

Eine weitere Stoßrichtung mag die Erweiterung der Monaden–Konstruktion auf eine größere Klasse von Räumen sein. Die Obergrenze bildet hier die Kategorie der core– kompakten T_{0}–Räume, da die wesentlichen Integralsätze, deren Gültigkeit zum Beweis der Adjunktionseigenschaften von V nötig waren, dies voraussetzen. Die wesentliche Schwierigkeit einer Ausdehnung der Ergebnisse liegt hier darin, eine Kategorie zu finden, die durch V auf sich abgebildet wird. Satz 5.4 läßt ahnen, daß die Wahl der Scott–Topologie auf V(X) in diesem Fall nicht die glücklichste sein wird. Da aber den Sätzen 8.7 und 8.8 zufolge die Scott–Topologie auf V(X) gleich der schwachen und der Produkttopologie ist, haben wir gleich zwei Kandidaten zur Auswahl. Eine geeignete Kategorie habe ich bislang allerdings nicht finden können.

Literaturverzeichnis

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